1) Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей
Уравнение
касательной плоскости к прямому геликоиду
в
точке
имеет
вид …
2) Тема: Дифференциальная геометрия кривых
Длина дуги кривой при равна
Решение:
Длина дуги кривой вычисляется по формуле где дифференциал дуги. Вычислив получаем .
3) Тема: Основные понятия топологии
Внешностью множества в топологическом пространстве с топологией является пустое множество
Решение: Внешность M – это совокупность всех внутренних точек дополнения к множеству M, то есть входящих в дополнение к M с какой-либо своей окрестностью (открытым множеством). Дополнением является множество – закрытое множество, которое не содержит в себе ни одного открытого множества из данной топологии. Таким образом, внешностью множества в данном случае будет пустое множество.
4) Тема: Асимптоты кривой
Асимптоты кривой имеют вид и
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Уравнение касательной плоскости к эллиптическому параболоиду в точке имеет вид …
|
|
|
|
Решение: Для функции вида уравнение касательной плоскости имеет вид Найдем частные производные функции : Тогда уравнение касательной плоскости примет вид: Получим
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Траектория движущейся точки задается уравнением Тогда значение нормального ускорения в момент равно …
Решение: Нормальное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как Вычислим производные первого и второго порядка. Найдём Тогда при
Тема: Основные понятия топологии Внешностью множества в топологическом пространстве с топологией является …
Решение: Внешность – это совокупность всех внутренних точек дополнения к множеству , то есть входящих в дополнение к с какой-либо своей окрестностью (открытым множеством). Таким образом, внешностью множества в данном случае будет
Тема: Асимптоты кривой Уравнение асимптоты кривой, заданной в полярной системе координат , имеет вид …
Решение: Из условия существования асимптоты кривой получаем что . Так как , то уравнение асимптоты имеет вид:
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Уравнение касательной к циклоиде в точке имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: В точке . Найдем производные: Тогда Подставляя полученные данные в уравнение касательной , получим или
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Вектор нормали к поверхности гиперболического параболоида в точке имеет координаты …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Координаты вектора нормали в точке к поверхности, заданной явно в виде , вычисляются по формуле . Вычислим частные производные функции в точке : ; . Тогда вектор нормали в точке будет равен:
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Кривая задана в полярных координатах: . Тогда длина дуги при , равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Так как дифференциал дуги , то длина дуги вычисляется как:
Тема: Асимптоты кривой Асимптоты графика кривой , заданной в полярных координатах, имеют вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Из условия существования асимптоты кривой получаем что .Так как , и , , , .
То есть
Тогда график имеет две асимптоты:
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Представим неявно заданную кривую в виде функции . Так как уравнение нормали кривой, заданной неявно, имеет вид , вычислим частные производные функции : Их значения в точке равны: Тогда, подставляя полученные данные в уравнение нормали, получим
или
Тема: Асимптоты кривой Кривая на плоскости задана уравнениями в параметрической форме: , . Тогда количество асимптот кривой равно …
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
3 |
Решение: Из условия существования горизонтальных асимптот: , , и , , следует, что – горизонтальная асимптота. Из условия существования вертикальных асимптот: , следует, что, так как нет таких , то вертикальные асимптоты отсутствуют. Из условия существования наклонных асимптот имеем: , То есть – наклонная асимптота. Всего асимптот две.
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Первая квадратичная форма поверхности имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Параметризуем сферу : Запишем ее в виде вектор-функции и вычислим ее частные производные: ; . Коэффициенты первой квадратичной формы определим по формулам ; ; . Тогда ; ; . Таким образом,
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Траектория движущейся точки задается уравнением Тогда значение касательного ускорения в момент равно …
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение: Касательное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как . Вычислим производные первого и второго порядка. Найдем , при любых значениях .
Тема: Асимптоты кривой Асимптоты кривой имеют вид …
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Решение: Кривая описывается соотношением , то есть функция представлена в явном виде. В точке функция имеет разрыв, поэтому уравнение вертикальной асимптоты имеет вид: . Наклонные или горизонтальные асимптоты определяются уравнением (для горизонтальных асимптот ). 1. Находим асимптоту при (правую асимптоту): , . Следовательно, уравнение правой асимптоты имеет вид: . 2. Аналогично находим асимптоту при (левую асимптоту): , . Следовательно, уравнение левой асимптоты совпадает с уравнением правой асимптоты и имеет вид: . Таким образом, прямые и являются асимптотами заданной кривой.
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Точка с координатами на поверхности является …
|
|
|
гиперболической точкой |
|
|
|
параболической точкой |
|
|
|
эллиптической точкой |
|
|
|
точкой уплощения |
Решение: Тип точки на поверхности определяется по виду соприкасающегося параболоида в этой точке к поверхности. Построим соприкасающийся параболоид: . Вычислим частные производные второго порядка: ; ; . В точке ; ; . Тогда соприкасающийся параболоид , или является гиперболическим параболоидом, а сама точка относится к гиперболическому типу.
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Огибающая семейства сфер имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Из системы следует, что , . Таким образом, огибающая имеет вид . Это цилиндр.
Тема: Основные понятия топологии Гомеоморфной к тору является …
|
|
|
«кружка с ручкой» |
|
|
|
сфера |
|
|
|
«крендель» |
|
|
|
куб |
Решение: Тор является многосвязным, а сфера и куб являются односвязными. Род тора равен 1, а род «кренделя» 2. Только с поверхностью «кружки с ручкой» можно установить взаимно-однозначное соответствие, поэтому поверхностью гомеоморфной к тору является поверхность «кружки с ручкой».
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Точка с координатами на поверхности является …
|
|
|
гиперболической точкой |
|
|
|
параболической точкой |
|
|
|
эллиптической точкой |
|
|
|
точкой уплощения |
Решение: Тип точки на поверхности определяется по виду соприкасающегося параболоида в этой точке к поверхности. Построим соприкасающийся параболоид: . Вычислим частные производные второго порядка: ; ; . В точке ; ; . Тогда соприкасающийся параболоид является гиперболическим параболоидом, а сама точка относится к гиперболическому типу.
Тема: Основные понятия топологии Тривиальная топологическая структура на множестве задается множеством …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Множество подмножеств данного множества задает топологию, если выполняются следующие свойства: – пустое множество и данное множество входят в ; – объединение любого числа и пересечение конечного числа подмножеств из снова принадлежит . А тривиальная топологическая структура состоит из пустого множества и самого множества , то есть верным будет ответ: .
Тема: Асимптоты кривой Асимптоты кривой имеют вид …
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
Тема: Дифференциальная геометрия кривых К кривой проведена нормаль, параллельная прямой . Тогда уравнение нормали имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Угловой коэффициент прямой . Так как касательная перпендикулярна нормали, точку касания найдем из условия , или . Решив это уравнение, получим , . Тогда уравнение нормали примет вид: или
Тема: Асимптоты кривой Асимптоты графика функции задаются уравнениями …
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
Решение: Функция представлена в явном виде . В точке функция имеет разрыв, поэтому уравнение вертикальной асимптоты имеет вид . Наклонные или горизонтальные асимптоты определяются уравнением (для горизонтальных асимптот ). 1. Находим асимптоту при (правую асимптоту): , . Следовательно, уравнение правой асимптоты имеет вид . 2. Аналогично находим асимптоту при (левую асимптоту): ; . Следовательно, уравнение левой асимптоты совпадает с уравнением правой асимптотой и имеет вид . Таким образом, прямые и являются асимптотами заданной кривой.
Тема: Основные понятия топологии Тривиальная топологическая структура на множестве задается множеством …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Множество подмножеств данного множества задает топологию, если выполняются следующие свойства: – пустое множество и данное множество входят в ; – объединение любого числа и пересечение конечного числа подмножеств из снова принадлежит . А тривиальная топологическая структура состоит из пустого множества и самого множества , то есть верным будет ответ: .
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Первая квадратичная форма поверхности имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема: Дифференциальная геометрия кривых Траектория движущейся точки задается уравнением Тогда значение касательного ускорения в момент равно …
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Решение: Касательное ускорение на параметрически заданной кривой вычисляется как . Вычислим производные первого и второго порядка. Найдем , при любых значениях .
Тема: Дифференциальная геометрия поверхностей Вектор нормали к поверхности гиперболического параболоида в точке имеет координаты …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Координаты вектора нормали в точке к поверхности, заданной явно в виде , вычисляются по формуле . Вычислим частные производные функции в точке : ; . Тогда вектор нормали в точке будет равен:
Тема: Асимптоты кривой Асимптоты кривой имеют вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Для кривой, заданной неявно многочленом - ой степени уравнения асимптот задаются соотношением: , где - совокупность членов степени , а и находятся из уравнения . Составив уравнение , получим зависимость между и : . Так как ; ; , то уравнение асимптоты примет вид: и
ДЕ4. Дифференциальное и интегральное исчисление
Тема:
Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых
функциях
Дифференциал
функции
равен
Тема: Приложения определенного интеграла Площадь фигуры, изображенной на рисунке
Равна
Решение:
Площадь
данной фигуры можно вычислить по формуле
,
где а-«левая» точка пересечения параболы
и оси Ох,
,
а
.
Определим точки пересечения параболы
и оси
,
решив уравнение
.Получаем:
.
Тема:
Непрерывность функции, точки
разрыва
Количество
точек разрыва функции
равно
2.
Решение:
Точку
называют
точкой разрыва функции
,
если она не является непрерывной в этой
точке. В частности, точками разрыва
данной функции могут являться точки, в
которых знаменатель равен нулю, то есть
.
Однако область определения функции
определяется
как
,
то есть имеет вид
.
Тогда
имеет
2 точки разрыва.
,
удовлетворяющие условию
.
Тема:
Дифференциальное исчисление ФНП
Частная
производная
функции
имеет
вид
.
Тема:
Непрерывность функции, точки разрыва
Точка
является
точкой разрыва функции …
Решение:
Точку
называют
точкой разрыва функции
,
если она не является непрерывной в этой
точке. В частности, точками разрыва
данных функций являются точки, в которых
знаменатель равен нулю, то есть
,
или:
.
Точка
не
является точкой разрыва функции
,
так как область определения функции
имеет
вид
,и
;
не
является точкой разрыва функции
,
так как область определения функции
имеет
вид
,
и
;
не
является точкой разрыва функции
,
так как область определения функции
имеет
вид
,
и
.
Таким образом, точка является точкой разрыва функции .
Тема:
Дифференциальное исчисление ФНП
Смешанная
частная производная второго порядка
функции
имеет
вид …
Тема:
Приложения определенного интеграла
Площадь
фигуры, ограниченной параболой
и
осью
, равна …
|
|
|
36 |
Решение:
Площадь
данной фигуры можно вычислить по формуле
где
и
–
это точки пересечения параболы и оси
,
а
.
Определим точки пересечения параболы
и оси
,
решив уравнение
.
Получаем:
и
.
Тогда
Тема:
Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых
функциях
Дифференциал
второго порядка функции
равен
…
|
|
|
|
Решение:
Дифференциал
второго порядка
функции
выражается
формулой
.Тогда
вычислив
и
получаем
.
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Частная производная функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
При
вычислении частной производной
по
переменной
,
переменные
и
рассматриваем
как постоянные величины. Тогда
.
Тема:
Непрерывность функции, точки разрыва
Для
функции
точка
является
точкой …
|
|
|
разрыва второго рода |
|
|
|
разрыва первого рода |
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
устранимого разрыва |
Решение:
Вычислим
односторонние пределы функции
в
точке
:
,
.
Так
как один из односторонних пределов в
точке
,
а именно
,
то точка
является
точкой разрыва второго рода.
Тема:
Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых
функциях
Дифференциал
функции
равен
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Дифференциал
функции
выражается
формулой
.
Тогда
вычислив
,
получаем
.
Тема:
Приложения определенного интеграла
Площадь
фигуры, изображенной на рисунке
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Площадь
данной фигуры можно вычислить по формуле
,
где
,
,
,
–
«правая» точка пересечения параболы
и
прямой
.
Определим значение
,
решив уравнение
.
Получаем:
.
Тогда
Тема:
Непрерывность функции, точки разрыва
Точка
разрыва функции
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Данная
функция определена и непрерывна на
каждом из интервалов
и
меняет свое аналитическое выражение в
точках
и
.
Поэтому функция может иметь разрыв
только в этих точках. Исследуем их на
непрерывность.
Для точки
вычислим
односторонние пределы и значение функции
в этой точке:
,
,
и
.
Так
как
,
то точка
является
точкой непрерывности данной функции.
Для
точки
вычислим
односторонние пределы и значение функции
в этой точке:
,
,
и
.
Так
как
,
то точка
является
точкой разрыва первого рода.
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Смешанная частная производная второго порядка функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
При
вычислении частной производной функции
по
одной из переменных другую переменную
рассматриваем как постоянную величину.
Тогда
Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях
Приближенное
значение функции
при
,
вычисленное с использованием дифференциала
первого порядка, равно …
|
|
|
|
Тема:
Дифференциальное исчисление ФНП
Значение
частной производной
функции
в
точке
равно
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
При
вычислении частной производной
по
переменной
переменную
рассматриваем
как постоянную величину. Тогда
.
Следовательно,
Тема:
Приложения определенного интеграла
Площадь
фигуры, изображенной на рисунке
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
Решение:
Площадь
данной фигуры можно вычислить по формуле
,
где
.
Тогда
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Для функции точка является точкой …
|
|
|
разрыва второго рода |
|
|
|
разрыва первого рода |
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
устранимого разрыва |
Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке : , . Так как один из односторонних пределов в точке , а именно , то точка является точкой разрыва второго рода.
Тема:
Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых
функциях
Дифференциал
второго порядка функции
равен
…
|
|
|
|
Тема:
Дифференциальное исчисление ФНП
Частная
производная второго порядка
функции
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
При
вычислении частной производной функции
по
одной из переменных другую переменную
рассматриваем как постоянную величину.
Тогда
.
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Для функции точка является точкой …
|
|
|
разрыва второго рода |
|
|
|
разрыва первого рода |
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
устранимого разрыва |
Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке : , . Так как один из односторонних пределов в точке , а именно , то точка является точкой разрыва второго рода.
Тема:
Приложения определенного интеграла
Площадь
фигуры, изображенной на рисунке
равна
…
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Площадь
данной фигуры можно вычислить по формуле
,
где
,
,
а
.
Тогда
Тема:
Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых
функциях
Дана
функция
.
Тогда больший действительный корень
производной этой функции принадлежит
промежутку …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Эта
функция представляет собой полином
пятого порядка и дифференцируема на
всей числовой оси. Согласно теореме
Ролля между двумя корнями (нулями) этой
функции находится по крайней мере один
корень ее производной. Поскольку
представляет
собой полином (4-го порядка), то между
двумя корнями функции
находится
ровно один корень ее производной
.
Найдем
корни функции
:
.
Тогда больший действительный корень
функции
принадлежит
интервалу
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Частная производная функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема:
Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых
функциях
Дана
функция
.
Тогда меньший действительный корень
производной этой функции принадлежит
промежутку …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Эта
функция представляет собой полином
6-го порядка и дифференцируема на всей
числовой оси. Согласно теореме Ролля
между двумя корнями (нулями) этой функции
находится по крайней мере один корень
ее производной. Поскольку
представляет
собой полином (5-го порядка), то между
двумя корнями функции
находится
ровно один корень ее производной
.
Найдем
корни функции
:
.
Тогда меньший действительный корень
функции
принадлежит
интервалу
.
Тема:
Непрерывность функции, точки разрыва
Точка
разрыва функции
равна
…2
Тема: Приложения определенного интеграла Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью , равна …
|
|
|
36 |
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Площадь данной фигуры можно вычислить по формуле , где и – это точки пересечения параболы и оси , а . Определим точки пересечения параболы и оси , решив уравнение . Получаем: и . Тогда
Тема:
Дифференциальное исчисление ФНП
Полный
дифференциал функции
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Полный
дифференциал функции нескольких
переменных равен сумме произведений
частных производных этой функции на
дифференциалы соответствующих независимых
переменных, то есть
.
Тогда
Тема:
Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых
функциях
Предел
равен
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Для
вычисления данного предела применим
правило Лопиталя. Так как
,
то при помощи алгебраических преобразований
получим неопределенность вида
,
или
,
например:
.
Тогда
можно воспользоваться формулой вида
,
то есть
.
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Точка разрыва функции равна …
|
|
|
2 |
|
|
|
– 1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
Решение:
Данная
функция определена и непрерывна на
каждом из интервалов
и
меняет свое аналитическое выражение в
точках
и
Поэтому
функция может иметь разрыв только в
этих точках. Исследуем их на
непрерывность.
Для точки
вычислим
односторонние пределы и значение функции
в этой точке:
,
,
и
.
Так
как
,
то точка
является
точкой непрерывности данной функции.
Для
точки
вычислим
односторонние пределы и значение функции
в этой точке:
,
,
и
.
Так
как
,
то точка
является
точкой разрыва первого рода.
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Для функции точка является точкой …
|
|
|
разрыва второго рода |
|
|
|
разрыва первого рода |
|
|
|
непрерывности |
|
|
|
устранимого разрыва |
Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке : , . Так как один из односторонних пределов в точке , а именно , то точка является точкой разрыва второго рода.
Тема:
Приложения определенного интеграла
Длина
дуги кривой
от
точки
до
точки
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Длина
дуги плоской кривой
,
ограниченной прямыми
,
,
определяется по формуле
.
В нашем случае
,
,
а
.
Тогда
Тема:
Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых
функциях
Приближенное
значение функции
при
,
вычисленное с использованием дифференциала
первого порядка, равно …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Воспользуемся
приближенной формулой:
.
Полагая
,
,
приходим к равенству
.
Вычислив
последовательно
,
и
,
получаем:
.
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Смешанная частная производная второго порядка функции имеет вид …
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП Полный дифференциал функции имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных, то есть . Тогда
Тема: Непрерывность функции, точки разрыва Точка разрыва функции равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Данная функция определена и непрерывна на каждом из интервалов и меняет свое аналитическое выражение в точках и . Поэтому функция может иметь разрыв только в этих точках. Исследуем их на непрерывность. Для точки вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке: , , и . Так как , то точка является точкой непрерывности данной функции. Для точки вычислим односторонние пределы и значение функции в этой точке: , , и . Так как , то точка является точкой разрыва первого рода.
Тема:
Приложения определенного интеграла
Площадь
фигуры, изображенной на рисунке
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Площадь
данной фигуры можно вычислить по формуле
,
где
,
,
.
Тогда
.
Тема: Дифференциалы и теоремы о дифференцируемых функциях Дифференциал второго порядка функции равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Дифференциал
второго порядка
функции
выражается
формулой
.
Тогда, вычислив
и
,
получаем, что
ДЕ5.Функциональный анализ
Тема:
Мера плоского множества
Мера
плоского множества
равна
0
Решение: В условии дана окружность радиуса 1, то есть кривая. Ее мера равна нулю.
Тема:
Элементы теории множеств
Даны
два множества
и
.
Тогда количество целых значений
,принадлежащих
пересечению множеств А и В равно 4.
Тема:
Метрические пространства
Функция
заданная
на множестве целых чисел …
|
|
|
удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства |
Тема:
Отображение множеств
Прообразом
множества
при
отображении
является
Тема:
Элементы теории множеств
Даны
два множества:
и
.Тогда
количество целых значений х , принадлежащих
объединению множеств А и В, равно …8
Тема:
Мера плоского множества
Мера
плоского множества, изображенного на
рисунке,
Равна
.
Решение:
Мера
плоского множества равна площади
соответствующей фигуры, то есть для ее
определения из площади круга радиуса
4 нужно вычесть площадь круга радиуса
2. Следовательно, мера этого множества
равна
Тема:
Метрические пространства
Функция
,
где
и
,
….
не
удовлетворяет аксиоме треугольника
не удовлетворяет аксиоме симметрии
не удовлетворяет аксиоме тождества
удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства
Решение: Функция не удовлетворяет аксиоме треугольника, например, для точек (-1, -1), (0, 0) и (1, 1).
Тема:
Отображение множеств
Биективное
отображение отрезка
на
отрезок
может
быть задано функцией …
Тема:
Метрические пространства
Расстояние
между функциями
и
пространства
всех непрерывных действительных функций,
определенных на отрезке
,
с метрикой
,
равно…3
Решение:
Тема:
Отображение множеств
Отображение,
действующее из отрезка
на
действительную числовую ось и имеющее
обратное отображение, может быть задано
функцией …
Решение: Функция, действующая из отрезка на действительную числовую ось и имеющая обратную, должна быть непрерывной и монотонной на . Например, это функция
Тема:
Мера плоского множества
Мера
плоского множества
равна
…
Решение: Мера плоского множества равна площади соответствующей фигуры, изображенной на рисунке:
Вычислим
ее с помощью определенного интеграла.
Следовательно,
мера этого множества равна
Тема:
Отображение множеств
Отображение
действует
по правилу:
Тогда
имеет
вид …
Решение:
Так
как
при
и
при
,то
Тема: Метрические пространства Функция , где и , …
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме треугольника |
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме симметрии |
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме тождества |
|
|
|
удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства |
Решение: Функция , где и , не удовлетворяет аксиоме треугольника, например, для точек (-1, -1), (0, 0) и (1, 1).
Тема:
Элементы теории множеств
Даны
три множества:
,
и
.
Тогда число элементов множества
равно
…
|
5 | |
Решение:
Выполним
операцию в скобках, то есть определим
множество
.
Теперь выполним объединения
,
в результате которого получится множество
чисел
.
Таким образом, множество
содержит
пять элементов.
Тема:
Мера плоского множества
Мера
плоского множества
,
где А=
и
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
Решение:
Мера
плоского множества
равна
площади соответствующей фигуры, то есть
квадрата со стороной 2. Мера плоского
множества
равна
площади соответствующей фигуры, то есть
круга с радиусом 1. Так как круг целиком
лежит внутри квадрата, то искомая мера
равна
Тема:
Элементы теории множеств
Даны
множества:
и
.
Тогда число элементов, принадлежащих
их пересечению равно …
|
3 | |
Решение:
.
Определим множество
.
Получили множество, состоящее из трех
элементов.
Тема:
Мера плоского множества
Мера
плоского множества
равна
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
Решение:
Мера
плоского множества
равна
площади соответствующей фигуры,
изображенной на рисунке:
Вычислим
ее с помощью определенного интеграла.
Следовательно,
мера этого множества равна
.
Тема: Элементы теории множеств Даны два множества: и . Тогда количество целых значений , принадлежащих пересечению множеств и , равно …
|
4 | |
Решение: Пересечением множеств и является промежуток [-1; 3), который содержит четыре целых числа.
Тема: Метрические пространства Функция , где и , …
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме треугольника |
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме симметрии |
|
|
|
не удовлетворяет аксиоме тождества |
|
|
|
удовлетворяет всем трем аксиомам метрического пространства |
Тема:
Отображение множеств
Пусть
задано отображение
.
Тогда
имеет
вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
По
определению прообраза множества
.
Тогда
Тема:
Элементы теории множеств
Даны
множества:
,
.
Тогда число целых чисел, принадлежащих
их объединению равно …
|
9 | |
Решение:
.
.
Таким образом, объединение содержит
девять элементов.
Тема:
Мера плоского множества
Плоская
мера множества
равна
…
|
|
|
0 |
|
|
|
32 |
|
|
|
8 |
|
|
|
18 |
Тема: Метрические пространства Расстояние между функциями и пространства всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке , с метрикой , равно …
|
|
|
3 |
|
|
|
– 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Тема:
Отображение множеств
Обратимым
на
является
отображение …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Отображение
называется
обратимым, если существует отображение
такое,
что
,
где
–
тождественные отображения на множествах
и
соответственно.
По
критерию обратимости: отображение
будет
обратимым, если оно инъективно и
сюръективно.
Отображение
на
отрезке
не
инъективно, например, для точек
и
образы
совпадают:
.
Отображения
и
также
не инъективны, например, для точек
и
в
обоих случаях
.
Отображение
инъективно
(для
)
и сюръективно (отрезок
переходит
в отрезок
);
обратным для него будет отображение
Тема: Мера плоского множества Мера плоского множества равна …
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Решение: В условии дана окружность радиуса 1, то есть кривая. Ее мера равна нулю.
Тема: Отображение множеств Отображение действует по правилу: Тогда имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема: Элементы теории множеств Даны множества: и . Тогда число элементов, принадлежащих их пересечению равно …
|
3 | |
Решение: . Определим множество . Получили множество, состоящее из трех элементов.
Тема: Отображение множеств Обратимым на является отображение …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема: Элементы теории множеств Даны два множества: и . Тогда количество целых значений , принадлежащих пересечению множеств и , равно …
|
4 |
Тема: Метрические пространства Расстояние между функциями и пространства всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке , с метрикой , равно …
|
|
|
3 |
Тема:
Элементы теории множеств
Даны
три множества:
,
и
.
Тогда число элементов множества
равно
…
|
1 | |
Решение:
Определим
множество
и
выполним операцию пересечения
.
В результате получится множество
,
состоящее из одного элемента.
Тема:
Отображение множеств
Прообразом
множества
при
отображении
является
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Прообразом
множества
при
отображении
являются
те точки
,
которые при данном отображении попадают
в отрезок
,
то есть множество
.
Тема: Мера плоского множества Плоская мера отрезка [0; 1], лежащего на оси в плоскости равна …
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
бесконечности |
|
|
|
несчетна |
Решение: Плоская мера отрезка [0; 1], лежащего на оси в плоскости равна нулю.
Тема:
Метрические пространства
Расстояние
между точками
и
в
метрике
,
где
и
равно
4
ДЕ6.Комплексный анализ
1) Области на комплексной плоскости
Все
точки
комплексной
плоскости, принадлежащие множеству
,
изображенному на рисунке,
удовлетворяют условию …
2) Дифференцирование функции комплексного переменного
Значение
производной функции
в
точке
равно …
Решение: Производная функции имеет вид
.
