ДЕ1.Абстрактная алгебра

1)Тема: Группы и подгруппы Группу по сложению образует множество …

	целых чисел
натуральных чисел
натуральных чисел с нулем
действительных чисел без нуля

2)Тема: Дробно-рациональные функции

Разложение дробно-рациональной функции на простые дроби над полем вещественных чисел имеет вид …

Решение:

Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Тогда

3)Тема: Основные алгебраические структуры В кольце квадратных матриц второго порядка единичный элемент … – это матрица

4)Тема: Линейные отображения

Пусть базис пространства Операторы и этого пространства заданы матрицами . Тогда матрица оператора равна

Решение:

Тема: Дробно-рациональные функции Разложение дробно-рациональной функции на простые дроби над полем вещественных чисел имеет вид …

Тема: Линейные отображения Линейный оператор отображает базис в векторы: Тогда матрица оператора в этом базисе имеет вид …

Решение:

Тема: Основные алгебраические структуры В кольце целых четных чисел единичный элемент …

не существует

Решение: В кольце целых четных чисел единичный элемент не существует.

Тема: Группы и подгруппы Группу по умножению образует множество …

	действительных чисел без нуля
действительных чисел
целых чисел
натуральных чисел с нулем

Решение: Группу образует множество действительных чисел без нуля с введенной операцией умножения чисел. Все остальные множества групп не образуют, так как, например, нуль не имеет обратного элемента.

Тема: Группы и подгруппы Операция «+» – сложения образует группу на множестве …

	целых четных чисел
натуральных чисел
целых нечетных чисел
действительных чисел без нуля

Решение: Множество целых четных чисел с введенной операцией сложения образует группу. Множество натуральных чисел не группа, так как, например, не имеет противоположного элемента. Множество целых нечетных не имеет нулевого элемента, как и множество действительных чисел без нуля.

Тема: Линейные отображения Из заданных операторов пространства – пространства трехмерных векторов, линейным является оператор …

Тема: Основные алгебраические структуры В кольце целых четных чисел единичный элемент …

	не существует
равен
равен
равен

Решение: В кольце целых четных чисел единичный элемент не существует.

Тема: Основные алгебраические структуры Подалгеброй алгебры является совокупность …

Решение: Совокупности и не являются подалгебрами алгебры , так как, . Совокупность не является подалгеброй алгебры , так как множество не замкнуто относительно умножения. Совокупность является подалгеброй алгебры , так как и множество замкнуто относительно умножения.

Тема: Группы и подгруппы Подгруппой группы целых чисел с введенной операцией сложения является множество …

	четных целых чисел
нечетных целых чисел
натуральных чисел
натуральных чисел с нулем

Тема: Дробно-рациональные функции Множество всех дробно-рациональных функций образует поле относительно обычных операций сложения и умножения таких функций. Пусть и , причем и Тогда числитель произведения равен …

	1

Решение: Разложим на линейные множители знаменатели дробно-рациональных функций и : Тогда . То есть числитель произведения равен 1.

Тема: Дробно-рациональные функции Разложение дробно-рациональной функции на элементарные дроби имеет вид …

Решение: Выполним деление заданных полиномов «уголком»: Разложим знаменатель на простые множители: . Тогда

Тема: Группы и подгруппы Группу по умножению образует множество …

	действительных чисел без нуля
действительных чисел
целых чисел
натуральных чисел с нулем

Решение: Группу образует множество действительных чисел без нуля с введенной операцией умножения чисел. Все остальные множества групп не образуют, так как, например, нуль не имеет обратного элемента.

Тема: Линейные отображения Из заданных операторов пространства – пространства трехмерных векторов, линейным является оператор …

Решение: Линейным называется отображение удовлетворяющее условиям: , . Проверим на линейность оператор : , , Следовательно - первое условие не выполнено, а значит не является линейным оператором. Для оператора проверим выполнение второго условия: Условие не выполняется, значит не линейный оператор. Проверим выполнение второго условия для оператора : Следовательно, данный оператор не является линейным. Проверим выполнение условий линейности для оператора : , , Следовательно – первое условие выполнено. – второе условие выполнено. Поэтому является линейным оператором.

Тема: Основные алгебраические структуры Подалгеброй алгебры является совокупность …

Решение: Подалгеброй алгебры , называют совокупность , где , причем замкнуто относительно всех операций из не является подалгеброй алгебры , так как и не являются подалгебрами алгебры , так как, не совпадают множества заданных операций. является подалгеброй алгебры , так как и каждая главная операция является ограничением соответствующей операции на

Тема: Основные алгебраические структуры является подалгеброй алгебры …

Решение: является подалгеброй алгебры , так как и каждая главная операция является ограничением соответствующей операции на .

Тема: Дробно-рациональные функции Разложение дробно-рациональной функции на элементарные дроби имеет вид

Тема: Линейные отображения Образом вектора при линейном преобразовании, заданном матрицей , является вектор …

Решение: Так как образ вектора определяется по формуле: , то .

Тема: Основные алгебраические структуры Подалгеброй алгебры является совокупность …

Решение: Подалгеброй алгебры , называют совокупность , где , причем замкнуто относительно всех операций из не является подалгеброй алгебры , так как и не являются подалгебрами алгебры , так как, не совпадают множества заданных операций. является подалгеброй алгебры , так как и каждая главная операция является ограничением соответствующей операции на

Тема: Группы и подгруппы Мультипликативная группа рациональных чисел – это множество рациональных чисел …

	без нуля с операцией умножения
с операцией сложения
с операцией умножения
без нуля с отношением порядка

Решение: Мультипликативная группа определяется операцией умножения. Поэтому множество рациональных чисел с операцией сложения и множество рациональных чисел без нуля с отношением порядка не являются мультипликативными группами. Множество рациональных чисел с операцией умножения не является группой, так как для элемента 0 нет обратного относительно умножения. Тогда мультипликативная группа рациональных чисел – это множество рациональных чисел без нуля с операцией умножения.

Тема: Дробно-рациональные функции Множество всех дробно-рациональных функций образует поле относительно обычных операций сложения и умножения таких функций. Пусть и , причем и Тогда числитель суммы равен …

Решение: Разложим на линейные множители знаменатели дробно-рациональных функций и : Тогда То есть, числитель суммы равен .

Тема: Линейные отображения Линейное преобразование в базисе имеет матрицу . Тогда матрица этого оператора в базисе , где ; , имеет вид …

Решение: Матрица оператора в базисе вычисляется по формуле , где – матрица перехода от базиса к базису . Матрица перехода , тогда . Матрица линейного оператора . Тогда .

Тема: Группы и подгруппы Коммутативной группой является множество …

	квадратных матриц с введенной операцией сложения
невырожденных квадратных матриц с введенной операцией умножения
натуральных чисел с 0, с введенной операцией сложения
натуральных чисел с введенной операцией сложения

Решение: Множество квадратных матриц с введенной операцией сложения образует группу: ассоциативность выполняется, нейтральным элементом группы является нулевая матрица, для любой матрицы существует противоположная. Множество невырожденных квадратных матриц с введенной операцией умножения образует группу, но она не является коммутативной, т.к. не для любых матриц и выполняется равенство . Множество натуральных чисел (с 0, или без него) с введенной операцией сложения не является группой, т.к. нет противоположного элемента, например, у элемента .

Тема: Основные алгебраические структуры Для кольца множество , рассматриваемое с одной алгебраической операцией сложения, представляет собой …

	абелеву группу
поле
целостное кольцо
область целостности

Решение: Для кольца множество , рассматриваемое с одной алгебраической операцией сложения, представляет собой абелеву группу.

Тема: Линейные отображения Дано линейное преобразование векторов на плоскости , которое каждый вектор переводит в вектор той же длины, но противоположно направленный исходному. Тогда матрица этого преобразования имеет вид …

Решение: Так как и , то матрица такого линейного преобразования имеет вид .

Тема: Основные алгебраические структуры В кольце квадратных матриц второго порядка единичный элемент …

	– это матрица
– это матрица
– это матрица
не существует

Тема: Дробно-рациональные функции Даны два полинома: и Тогда целая часть от деления полинома на полином равна …

Решение: Выполним деление заданных полиномов «уголком»: Тогда: То есть, целая часть от деления полинома на полином равна

ема: Основные алгебраические структуры Элемент называется обратным к элементу в группе G с единичным элементом , если …

,

Тема: Группы и подгруппы Подгруппой группы целых чисел с введенной операцией сложения является множество …

	четных целых чисел
нечетных целых чисел
натуральных чисел
натуральных чисел с нулем

Решение: Данное подмножество должно быть замкнуто относительно операций сложения и взятия противоположного элемента. Этим условиям удовлетворяет, например, множество четных целых чисел.

Тема: Линейные отображения Линейным отображением пространства трехмерных векторов на пространство двумерных векторов является …

Решение: Линейным называется отображение удовлетворяющее условиям: , . Проверим на линейность отображение : , , Следовательно – первое условие не выполнено, а значит не является линейным отображением. Для отображения проверим выполнение второго условия: Условие не выполняется, значит не линейное отображение. Проверим выполнение второго условия для отображения : Следовательно, данное отображение не является линейным. Проверим выполнение условий линейности для отображения : , , Следовательно – первое условие выполнено. – второе условие выполнено. Поэтому является линейным отображением.

ДЕ2.Аналитическая геометрия

Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Даны три вершины параллелограмма: , , .Тогда четвертая вершина , противолежащая вершине В, имеет координаты .

Решение: Воспользуемся формулой деления отрезка пополам. Координаты точки , делящей отрезок между точками и пополам, находятся по формулам: , . Найдем координаты точки М пересечения диагоналей параллелограмма как координаты середины отрезка АС (диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам): , . Зная координаты точек В и М (как середины отрезка ВД) найдем координаты точки то есть точка имеет координаты .

Тема: Прямая линия в пространстве Острый угол между прямыми и равен

Решение: Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами: и который можно вычислить по формуле:

тогда

Тема: Кривые второго порядка Мнимая полуось гиперболы равна …

3

Тема: Плоскость в пространстве Нормальное уравнение плоскости имеет вид …

Тема: Плоскость в пространстве Плоскости и перпендикулярны при значении , равном

Решение: Плоскости, заданные общими уравнениями и перпендикулярны при условии, что . Тогда то есть .

Тема: Кривые второго порядка Расстояние между фокусами гиперболы равно 10.

Тема: Прямая линия в пространстве Параметрические уравнения прямой, параллельной оси и проходящей через точку имеют вид …

Решение: Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку с направляющим вектором имеют вид .За направляющий вектор прямой можно взять

Тогда или

Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Точка лежит на оси абсцисс и равноудалена от точки и начала координат. Тогда точка имеет координаты …

Решение: Так как точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината . Так как точка равноудалена от точки и начала координат , то расстояния от точки до точек и равны. Тогда или

, т.е.

Тема: Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: . Так как эта плоскость перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора плоскости можно использовать направляющий вектор этой прямой, то есть . Тогда или .

Тема: Кривые второго порядка Асимптоты гиперболы задаются уравнениями …

Решение: Асимптоты гиперболы задаются уравнениями вида . Разделив обе части уравнения на 36, получим каноническое уравнение гиперболы: . То есть и . Тогда уравнения асимптот примут вид .

Тема: Прямая линия в пространстве Расстояние между прямой и плоскостью равно …

			3
			18
			0
			15

Решение: Направляющий вектор прямой имеет вид , а нормальный вектор плоскости: . Скалярное произведение этих векторов равно нулю: . Следовательно, прямая либо параллельна плоскости, либо принадлежит ей. Тогда расстояние между прямой и плоскостью можно найти как расстояние между любой точкой данной прямой и плоскостью. В качестве такой точки возьмем, например, . Расстояние от точки до плоскости найдем по формуле , то есть

Тема: Плоскость в пространстве Уравнение плоскости, проходящей через точки , и , имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точки , и , не лежащие на одной прямой, имеет вид . Подставим числовые значения в полученное уравнение: , или . Раскрывая определитель по первой строке, получим , то есть

Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Точки и лежат на одной прямой, параллельной оси ординат. Расстояние между точками и равно 6. Тогда положительные координаты точки равны …

,

Тема: Прямая линия в пространстве Параметрические уравнения прямой, параллельной оси и проходящей через точку имеют вид …

Решение: Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку с направляющим вектором , имеют вид . За направляющий вектор прямой можно взять . Тогда или

Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Точки , и лежат на одной прямой. Тогда точка делит отрезок в отношении …

Решение: Делением отрезка в заданном отношении называется поиск такой точки на отрезке , которая удовлетворяет соотношению . Тогда искомый параметр будет равен:

Тема: Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости , имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, параллельной плоскости имеет вид: . Подставим координаты точки в это уравнение: . Тогда .

Тема: Кривые второго порядка Мнимая полуось гиперболы равна … 3

Тема: Плоскость в пространстве Плоскости и перпендикулярны при значении , равном …

Тема: Прямая линия в пространстве Прямая параллельна плоскости , если параметр равен …

			– 11
			– 7
			7
			11

Решение: Прямая параллельна плоскости, если скалярное произведение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости равно нулю. То есть , или .

Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Даны три вершины параллелограмма: , , . Тогда четвертая вершина , противолежащая вершине , имеет координаты …

Тема: Кривые второго порядка Соотношение в прямоугольной декартовой системе координат задает …

			параболу
			гиперболу
			эллипс
			окружность

Решение: Вычислим , то есть . Тогда в прямоугольной декартовой системе координат данное уравнение задает параболу с вершиной в точке

Тема: Прямоугольные координаты на плоскости В треугольнике с вершинами , и проведена медиана , длина которой равна …

			4
			16

Решение: Точка является серединой отрезка . Координаты середины отрезка определяются по формулам , . Подставляя в эти формулы координаты точек и , получим координаты точки : , . Расстояние между точками и можно найти по формуле . То есть

Тема: Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости , имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, параллельной плоскости имеет вид: . Подставим координаты точки в это уравнение: . Тогда .

Тема: Кривые второго порядка Фокусы эллипса имеют координаты и , а его эксцентриситет равен 0,6. Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид …

Решение: Каноническое уравнение эллипса имеет вид ; фокусы эллипса имеют координаты и , где , а эксцентриситет . Тогда , , . Следовательно, получаем уравнение

Тема: Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой , имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид: . Так как эта плоскость перпендикулярна прямой , то в качестве нормального вектора плоскости можно использовать направляющий вектор этой прямой, то есть . Тогда или .

Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Даны точки и . Тогда координаты точки , симметричной точке относительно точки , равны …

Тема: Прямая линия в пространстве Параметрические уравнения прямой, параллельной оси и проходящей через точку имеют вид …

Решение: Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку с направляющим вектором , имеют вид . За направляющий вектор прямой можно взять . Тогда или .

Тема: Кривые второго порядка Центр окружности имеет координаты …

Решение: Окружность радиуса с центром в точке задается на плоскости уравнением . Выделим в уравнении полные квадраты: , или . Тогда центр окружности имеет координаты

Тема: Кривые второго порядка Вершина параболы имеет координаты …

Решение: Выделим в уравнении полный квадрат: или . Тогда вершина параболы имеет координаты

ДЕ3.Дифференциальная геометрия