Министерство образования Российской Федерации
ГОУ ВПО «Магнитогорский государственный
технический университет им. Г.И. Носова»
Кафедра математических методов в экономике Интеграл, функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения
Варианты заданий к контрольной работе №2 для студентов заочного факультета экономических специальностей
Магнитогорск 2008
Вариант 1
1. Вычислить неопределенный интеграл:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2. Вычислить определенный интеграл:
.
3. Исследовать на сходимость несобственный
интеграл:
.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями:
,
,
.
5. Найти уравнения и выполнить построение нескольких линий уровня функции
.
6. Найти градиент функции
и определить наибольшую скорость
возрастания функции в точке
.
7. Показать, что функция z = f(x,y) удовлетворяет уравнению:
,
.
8. Функция полных издержек двухпродуктовой
фирмы задана уравнением
,
где
и
- объемы выпуска продукции вида А
и В соответственно (усл. ед.). Цены
на эти товары на рынке равны
и
ден. ед. Определить максимально возможную
прибыль.
,
.
9. Дана функция полезности
,
где
и
количество товаров вида А и В
соответственно, покупаемых потребителем.
Найти максимальную полезность, при
условии, что семейный бюджет позволяет
потратить М денежных единиц на
покупку товара А по цене
и товара В по цене
.
Решить задачу методом Лагранжа.
,
,
.
10. Имеются следующие данные о переменных и ,
где - цена на товар (усл. ед.), - уровень продаж (тыс. ед.)
Предполагая, что между
и
существует линейная зависимость, найти
эмпирическую формулу
методом наименьших квадратов.
-
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
200
160
120
90
80
11. Динамика основных фондов некоторой фирмы отрасли определяется
дифференциальным уравнением
где
- основные фонды;
- инвестиции,
- коэффициент выбытия
фондов. Найти функцию динамики
основных производственных фондов
,
если
объем основных фондов
.
12. Решить задачу Коши. Вариант 2
1. Вычислить неопределенный интеграл:
а)
;
б )
;
в)
;
г)
.
2. Вычислить определенный интеграл:
.
3. Исследовать на сходимость несобственный
интеграл:
.
4. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями:
,
.
5. Найти уравнения и выполнить построение нескольких линий уровня функции
.
6. Найти градиент функции
и
определить наибольшую скорость
возрастания функции в точке
.
7. Показать, что функция z = f(x,y) удовлетворяет уравнению:
,
.
8. Функция полных издержек двухпродуктовой фирмы задана уравнением , где и - объемы выпуска продукции вида А и В соответственно (усл. ед.). Цены на эти товары на рынке равны и ден. ед. Определить максимально возможную прибыль.
,
.
9. Дана функция полезности , где и количество товаров вида А и В соответственно, покупаемых потребителем. Найти максимальную полезность, при условии, что семейный бюджет позволяет потратить М денежных единиц на покупку товара А по цене и товара В по цене . Решить задачу методом Лагранжа.
,
,
.
10. Имеются следующие данные о переменных и ,
где - цена на товар (усл. ед.), - уровень продаж (тыс. ед.)
Предполагая, что между и существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу методом наименьших квадратов.
-
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
100
80
60
45
40