Тема 3.3. Основы теории принятия решений

Нам часто приходится принимать решения. Например, утром перед тем, как выйти из дому, мы задумываемся: «А не взять ли с собой зонт?». Конечно, не хотелось бы носить его с собой в хорошую погоду. Но если день будет дождливым, то зонт будет весьма кстати. Неприятно ходить в мокрой одежде, да еще платить за ее чистку. Ответить на подобный вопрос не сложно, если вам известен прогноз погоды. В случае пасмурной погоды, мы, скорее всего, возьмем зонт. А может и не возьмем, предпо­читая ходить в намокшей одежде, нежели понапрасну весь день носить с собой зонт. Последствия отсутствия зонта в плохую погоду оцениваются людьми по-разному. Эти оценки влияют на принятие решения.

Сложнее принимать решения в условиях отсутствия досто­верной информации о возможных последствиях. Этими вопро­сами занимается теория риска. Эта теория имеет широкую сферу приложений в экономике. Одно из наиболее важных — выбор инвестиционных проектов.

Теория принятия решений — это аналитический подход к вы­бору наилучшей альтернативы или последовательности действий. В зависимости от степени определенности возможных исходов или последствий, с которыми сталкивается лицо, принимающее решения (ЛПР) используют один из трех методов теории принятия решений:

1. в условиях определенности;

2. в условиях неопределенности;

3. в условиях риска.

Принятие решений в условиях определенности

В случае определенности известно, какое из возможных состояний среды наступит. Если известно, что наступит состоя­ние к, то в качестве наилучшей — следует выбрать альтернати­ву A_s, для которой:

a_sk = .

Принятие решений в условиях неопределенности

Если имеет место полная неопределенность в отношении вероятности реализации состояний среды (т.е. не возможно даже приблизительно указать вероятности наступления каждого воз­можного исхода), то обстоятельства, с которыми мы имеем дело при выборе решения можно представить как вид стратегичес­кой игры, в которой одним игроком является ЛПР, а вторым — некая объективная действительность, называемая природой.

Условия такой игры обычно представляются в виде табли­цы, в которой строки А₁, ... , А_т соответствуют стратегиям ЛПР, а столбцы N₁, … ,N_n — стратегиям природы. На пересечении строк и столбцов — элемент a_ij — стоит выигрыш ЛПР, соответству­ющий данной паре А_i N_j

	N1	N2	…	Nn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	am22		a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

При выборе наилучшего решения из множества решений {A₁, …, A_m} обычно используют следующие критерии.

1. Максимаксный критерий или критерий крайнего оптимизма — определяет альтернативу, которая максимизирует наилучший результат для каждой альтернативы, т.е. ЛПР выбирает стратегию с номером i₀, которой соответствует

2. Максиминный критерий Вальда или критерий крайнего пессимизма — определяет альтернативу, которая максимизирует минимальный результат для каждой альтернативы,т.е. ЛПР выбирает стратегию с номером /₀, которой соот- ветствует

3. Критерий минимаксного риска Сэвиджа — выбирается стратегия, при которой величина риска r_ij в наихудших

условиях минимальна, т.е. равна , где риск

4. Критерий оптимизма-пессимизма Гурвица — рекомендуетпри выборе решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом, ни крайним оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия выбирается из условия:

Значение коэффициента пессимизма к выбирается между нулем и единицей. При к = 1 критерий Гурвица пре­вращается в критерий Вальда.

2. Критерий безразличия. В условиях полной неопределен­ности предполагается что все возможные состояния сре­ды (природы) равновероятны. Этот критерий выявля­ет альтернативу с максимальным средним результатом, т.е

Принятие решений в условиях риска

Говорят, что решение принимается в условиях риска, если определена таблица решений и для каждого состояния среды известна вероятность его наступления. Один из наиболее рас­пространенных критериев выбора альтернативы в условиях риска — максимизация ожидаемой стоимостной оценки альтер­нативы ЕМV. Для альтернативы А_i ожидаемая стоимостная оценка EMV(Ai) рассчитывается по формуле:

где a_ij —выигрыш ЛПР при выборе альтернативы i в условиях реализации состояния среды j, j=1, …, n;

p_j — вероятность наступления состояния среды j.

Ожидаемая ценность достоверной информации

Под ожидаемой ценностью достоверной информации (EVPI) понимается разность между выигрышем в условиях определен­ности и выигрышем в условиях риска.

Для расчета ожидаемой ценности достоверной информации может быть использована следующая формула:

Оценка риска

Наряду с критерием максимизации ожидаемой стоимостной оценки используется критерий минимизации риска. Для альтер­нативы Ai риск R(Ai) может быть определен по формуле:

Таким образом, в качестве оценки риска может рассматри­ваться величина дисперсии эффекта, получаемого в результате выбора альтернативы. По критерию минимизации риска выби­рается альтернатива, имеющая минимальную величину диспер­сии. Таким образом, задача выбора наилучшей альтернативы может рассматриваться как двухкритериальная.

Дерево решений

Таблицу решений удобно использовать при анализе задач, имеющих единственное множество альтернативных решений и единственное множество состояний среды. Однако многие за­дачи предполагают необходимость принятия нескольких после­довательных решений, для каждого из которых определено мно­жество состояний среды. Если имеется два или более последо­вательных решения, то более предпочтительным является подход, основанный на построении дерева решений. Дерево решений — это графическое изображение процесса решений, в котором от­ражены альтернативные решения, состояния среды, соответству­ющие вероятности и выигрыши для любых комбинаций альтер­натив и состояний среды.

Анализ задач с помощью дерева решений включает пять эта­пов:

1. формулировка задачи;

2. построение или изображение дерева решений;

3. оценка вероятностей состояний среды;

4. установление выигрышей для каждой возможной Комби­нации альтернатив и состояний среды;

5. решение задачи путем расчета ожидаемой стоимостной ценности (ЕМУ) для каждой вершины состояния среды.

Ниже приведены примеры задач, решение которых построено с использованием теории принятия решений.

^{Пример 1. Принятие решений в условиях определенности}

Компания «Буренка» изучает возможность производства и сбыта навесов для хранения кормов. Этот проект может быть реализован на большой или малой производственной базе. Рынок для реализации продукта навесов может быть благо­приятным или неблагоприятным.

Василий Бычков — менеджер компании, — учитывает возможность, что компании вообще не выгодно производить эти навесы. При благоприятной рыночной ситуации боль­шое производство позволило бы компании получить чистую прибыль 200 тыс. руб. Если рынок окажется неблагоприят­ным, то при большом производстве она понесет убытки в раз­мере 180 тыс. руб. Малое производство дает 100 тыс. руб. при­были при благоприятной рыночной ситуации и 20 тыс. руб. убытков — при неблагоприятной.

Нужно помочь Бычкову решить, какое из трех возмож­ных решений следует принять: создать большую или малую производственную базу или не заниматься производством навесов.

Решение

Применим перечисленные выше критерии к решению этой задачи. Составим таблицу решений (к = 0,75).

Альтер­нативы	Состояние среды		Maxi-тах	Maxi-min	Критерии
	Благо­прият­ный рынок	Небла­гопри­ятный рынок			Сэвиджа	Гурвица	Безраз­личия
Создать большое производство	200	-180	200	-180	180	-85	10
Создать малое производство	100	-20	100	-20	100	10	40
Не создавать нового производства	0	0	0	0	200	50	0

1. По максимаксному критерию следует создать большое производство.

2. По максиминному критерию и критерию Гурвица (при к = 0,75) не следует открывать нового производства.

3. По критерию минимума максимального риска (критерий Сэвиджа) и критерию безразличия следует создать малое производство.

Пример 2. Принятие решений в условиях неопределенности

Добавим к условиям примера 1 предположение, что вероят­ности наступлений состояний среды принимают значения со­ответственно 0,7 и 0,3. Необходимо определить альтернати­ву, для которой значение ожидаемой стоимостной оценки мак­симально при этих вероятностях.

Решение

Получаем следующие оценки ЕМУ.

1. EMV(A₁) = (0,7)(200) + (0,3)(-180) = 86.

2. ЕМУ(A₂) = (0,7)(100) + (0,3)(-20) = 64.

3. ЕМУ(А₃) = (0,7)(0) + (0,3)(0) = 0.

При таких вероятностях наступлений состояний среды наи­лучшей является альтернатива А_х.

Пример 3. Принятие решений в условиях риска

Предположим, что в условиях примера 2 менеджер компа­нии «Буренка» связался с фирмой, занимающейся исследо­ванием рынка. Фирма предложила ему помочь принять ре­шение о целесообразности создания производства навесов для хранения кормов. Если согласиться с предложением фирмы, то после исследования рынка принятие решения о создании производства для компании «Буренка» будет приниматься в условиях определенности. Полученная информация может предостеречь Бычкова от очень дорогостоящей ошибки. Фирма, занимающаяся исследованием рынка, хотела бы по­лучить за эту информацию 65 тыс. руб.

Что бы Вы порекомендовали Бычкову? Следует ли зака­зать проведение исследования рынка? Даже если результаты этого исследования являются совершенно точными, оправ­дана ли плата 65 тыс. руб.?

Решение

Для определения EVPI необходимо рассчитать математиче­ское ожидание в условиях определенности. Оно равно ожидае­мому, или среднему доходу в случае, когда для принятия реше­ния имеется достоверная информация.

Лучший исход для состояния среды «благоприятный рынок» — «создать большое производство» с выигрышем 200 тыс. руб. Лучший исход для состояния среды «неблагоприятный рынок» — «не открывать новое производство» с выигрышем 0.

Ожидаемая ценность в условиях определенности = 200 × 0,7 + + 0× 0,3 = 140.

Итак, если бы мы располагали достоверной информацией, то ожидали бы получить в среднем 140 тыс. руб.

Значение ожидаемой стоимостной оценки, полученное для лучшей альтернативы в примере 2, равно 86 тыс. руб.

EVPI= 140- 86 = 54 тыс. руб. Итак, в среднем, использова­ние достоверной информации может дать дополнительный эф­фект в 54 тыс. руб. В этих условиях платить за достоверную информацию 65 тыс. руб. не имеет смысла.

ЛИТЕРАТУРА

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М., Высшая школа, 1986.

2. Афанасьев М.Ю., Багриновский К.А., Матюшок В.М. Прикладные задачи исследования операций. М., Инфра-М, 2006.

3. Вентцель Е.С. Исследование операций. М., Советское радио, 1972.

4. Кристофидес

5. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М., Высшая школа/ 1980.

6. Нит И.В. Линейное программирование. М., Изд. МГУ, 1978.

69