Имитация с помощью метода Монте-Карло (метода статистических испытаний)

Метод состоит из четырех этапов.

1. Построение математической модели системы, описываю­щей зависимость моделируемых характеристик от значе­ний стохастических переменных.

2. Установление распределения вероятностей для стохасти­ческих переменных.

3. Установление интервала случайных чисел для каждой стохастической переменной, генерация случайных чисел, имитация поведения системы путем многих попыток и получение оценки моделируемой характеристики системы.

4. Оценка точности результата.

Дадим развернутое описание этих этапов.

1 этап

Стохастическая имитационная модель (ИМ) некоторой реальной системы может быть представлена как динамическая система, которая под воздействием внешних случайных входных сигналов (входные переменные) изменяет свое состояние (слу­чайные переменные состояния), что, в свою очередь, приводит к изменению выходных сигналов (выходные переменные):

S_i+1=F(S_i, I_i+1),

U_i = R(S_i)

где : F, R — векторы-функции;

I_i,U_i,S_i — векторы соответственно входных, выходных переменных и переменных состояния системы в тактовый момент моделирования i.

ИМ — это экспериментальная модель системы, в которой ис­кусственно воспроизводятся случайности, имеющие место в ре­альной системе. Она представляет собой совокупность математических соотношений, между входными, выходными переменными и переменными состояния в сочетании с алгоритмической реализацией некоторых зависимостей.

В имитационном моделировании динамических процессов существует два основных подхода. Первый заключается в том, что весь период моделирования разбивается на равные промежутки времени (такты моделирования), анализ состояния системы, а также значений выходных переменных производится через одинаковые промежутки времени. При этом возникает проблема выбора «правильной» продолжительности такта. Кроме того, не исключается появление тактов, в которых состоя системы по сравнению с предыдущим не изменилось. При вто­ром подходе продолжительность такта моделирования не фиксиру­ется, а определяется моментом наступления одного из «сущест­венных» событий. Например, при моделировании производствен­ного процесса на предприятии такими событиями могут быть освобождение или начало загрузки станка, поступление на об­работку детали, невыход на работу станочника, исчерпание за­паса необходимых комплектующих деталей на складе и др. Имен­но второй подход чаще всего используется на практике и под­держивается современными языками моделирования.

2 этап

Случайные величины, используемые в ИМ, могут быть дис­кретными или непрерывными. В первом случае необходимо знать их распределения, во втором — плотности распределений. Эти зависимости могут быть определены в результате специальных исследований или заданы в качестве гипотезы. Точность моде­ли, при прочих равных условиях, зависит от того, насколько точно заданы указанные распределения (плотности распределений).

3 этап

Моделирование случайных величин при компьютерных ими­тационных экспериментах производится с помощью датчика псевдослучайных чисел, предоставляемого любым современным языком программирования. Обычно это датчик случайных чи­сел с равномерным распределением на интервале [0,1]. Если известны вероятности наступления событий, то, используя та­кой датчик, можно отвечать на вопросы типа «Какое из N воз­можных событий произошло?» или «Какое значение приняла случайная величина?».

Предположим, что в ИМ используется случайная перемен­ная X, принимающая дискретные значения x_n … , x_n с вероятностями соответственно p₁, … ,p_n( ). Получение некоторой реализации этой переменной в модели производится следующим образом. Строится функция распределения случай­ной величины X. Указанная функция определяется по формуле F(x) = в которой суммирование проводится по всем индексам, для которых х_к < х. С помощью датчика случайных чисел получают случайное число и из отрезка [0,1]. Из равно­мерности распределения получаемых случайных чисел следует, что вероятность получения случайного числа из произвольного интервала, включенного в [0,1], равна длине этого интервала. Поэтому вероятность реализации X = х_к равна вероятности падания полученного от датчика случайного числа и в произвольный интервал в [0,1] длиной р_к. Таким образом, можно утверждать, что если очередное число и датчика удовлетворяет неравенствам 0 < и ≤ р₁, то имеет место реализация X = х₁; в случае р_х < и ≤ р₁ + р₂— реализация X = х₂ и т.д. В общем случае

к = 2,…, N, если , то X=x_k

Заметим, что границы указанных неравенств совпадают со значениями построенной выше функцией распределения F(x). Однако удобнее иметь дело не с дробными значениями границ интервалов, в которые попадают случайные значения и, а с целочисленными значениями, тем более, что с помощью датчиков случайных чисел можно генерировать числа из любого диапазона. Чтобы получить целые значения границ интервале достаточно умножить все р_к на 10^d, где d— целое, минимальное значение которого равно максимальной точности (максимальному числу знаков после десятичной точки) чисел р_к, к = 1, …,N. Например, если {р_к} = {0,3; 0,153; 0,5; 0,047}, то минимальное значение d равно 3 (все р_к нужно умножить на 1000). Taким образом, 10^d определяет длину интервала значений рассматриваемой случайной переменной в ИМ.

4 этап

Точность статистических оценок параметров реальной си­стемы зависит от числа наблюдений (объема выборки). Погрешности в оценках обусловлены как статистическим характера самой модели, так и влиянием начальных данных (начали состояния имитационной системы), возможной автокорреляцией последовательных значений некоторого параметра в процессе моделирования. Очевидно, что с увеличением числа испытаний точность моделирования должна увеличиваться. Ввиду того, увеличение объема выборки связано с ростом затрат на моделирование, важно уметь определять минимальное число испытаний, необходимое для достижения заданной точности оценки заданной вероятностью.

Широкое распространение получили два метода статистических испытаний. Один из них предполагает проведение достаточно большого числа Т последовательных наблюдений в течение одного прогона модели (одного сеанса имитирования). Другой метод заключается в реализации т независимых прогонов мо­дели, т.е. в m-кратном повторении одного и того же цикла ими­тирования. При этом если мы хотим получить в сумме Т наблюдений, в течение каждого прогона можно делать по (допустим, что полученное число — целое) наблюдений. Оба подхода при­водят примерно к одинаковым результатам.

Пусть значения y_t, t= 1,..., Т представляют собой результа­ты Т последовательных измерений значений случайной величины у во время одного и того же сеанса имитирования. Среднее по времени значение Е_T(у) определяется выражением:

Обозначим через μ математическое ожидание случайной ве­личины у. Тогда для достаточно большого Г получаем Е_т{у) ≈ μ.

Если известна дисперсия D(y) случайной величины у, то дисперсия D(E_T[y]) среднего значения Е_T[у] может быть оце­нена по формуле:

Оценка точности математического ожидания случайной ве­личины, полученного методом Монте-Карло, определяется на основе следующего общего подхода.

Предположим, что z — характеристика, которая должна быть определена (вероятность события, математическое ожидание, дисперсия и т.п.), а ζ — ее значение, уточняемое по мере накоп­ления данных, остающееся случайным вследствие ограниченности числа T проведенных наблюдений. В этих условиях можно го­ворить о вероятности p(|z - ζ| < ε ) по отношению к интересу­ющей нас характеристике. Здесь |z - ζ| представляет собой по­грешность в оценке z, a ε — некоторый допустимый ее предел. Из неравенства Чебышева следует

Из этого неравенства следует D_T(ζ) < (1 - р)ε², откуда при за­данных р и ε и при известной зависимости D_T(ζ) можно найти предельно необходимое Т.

Известно, что истинная дисперсия выборочного распределе­ния для расчетного среднего обратно пропорциональна суммар­ному числу наблюдений Т, т.е. D_T(ζ) = , где d не зависит от Т.

Обычно в начале имитационного процесса необходимое число наблюдений определить не удается, поскольку d неизвестно. Поэтому, как правило, эксперимент проводят в два этапа На первом этапе выбирается относительно небольшое число ис­пытаний; в результате моделирования определяется величина d. Затем можно рассчитать какое число дополнительных наблюде­ний нужно провести, чтобы достигнуть необходимой точности. Предельное число наблюдений Т₀ определяется формулой

Пример ситуации, требующей имитационного моделирования.

Моделирование объема спроса на автомашины

Наблюдения за объемом продаж автомобилей в салоне «Логоваз» в течение 200 дней показало, что величина спроса изменяется от 0 до 5 автомобилей в день. Частота реализа­ции значений стохастической переменной приведена во вто­ром столбце таблицы. Требуется построить модель, позволяющую имитировать значение величины спроса.

Стохастическая переменная (величина спроса)	Частота реализации значений	Вероятность реализации	Значение функции распределения	Интервалы случайных чисел
0	10	10/200 = 0,05	0,50	01—05
1	20	20/200 = 0,1	0,15	06—15
2	40	40/200 = 0,2	0,35	16—25
3	60	60/200 =0,3	0,65	36—65
4	40	40/200 = 0,2	0,85	66—85
5	30	30/200 = 0,15	1,00	86—00

Построим функцию распределения величины спроса и ин­тервалы случайных чисел для значений стохастической перемен­ной. Соответствующие значения указаны в четвертом и пятой столбцах таблицы.

Решение

Построим функцию распределения величины спроса и ин­тервалы случайных чисел для значений стохастической перемен­ной. Соответствующие значения указаны в четвертом и пятом столбцах вышеприведенной таблицы. Сымитируем спрос на ав­томашины в салоне «Логоваз» в течение 10 последующих дней. Случайные числа из таблицы случайных чисел мы выби­раем, начиная из верхнего левого угла и двигаясь вниз в пер­вом столбце.

Номер дня	Случайное число	Имитированный дневной спрос
1	52	3
2	37	3
3	82	4
4	69	4
5	98	5
6	96	5
7	33	2
8	50	3
9	88	5
10	90	5

Получаем:

39 — спрос за 10 дней;

39/10= 3,9 – средний ежедневный спрос

Оценка 3,9 средней величины спроса, полученная в резуль­тате имитационного эксперимента, существенно отличается от значения 2,95 (математического ожидания этой случайной ве­личины). Но эта разница уменьшается с ростом числа испыта­ний.