1.Матрицы и действия над ними.
Матрица – математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы, которая представляет собой совокупность строк и столбцов.
Операции над матрицей:
- сложение матриц, имеющих один и тот же размер
-умножение матриц подходящего размера
-умножение матрицы на число
-умножение матрицы на вектор
-определитель
-транспонирование
2.Определители 2-го, 3-го и n-го порядка.
Определитель – многочлен от элементов квадратной матрицы
Определитель 2-го порядка:
Определитель 3-го порядка:
Определитель n-го порядка:
3.Свойства определителей.
При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.
Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
Определитель произведения матриц одинакового порядка равен произведению их определителей
4.Разложение определителя по строке или столбцу.
Минором
к
элементу 
квадратной
матрицы А называется минор, составленный
из элементов А, оставшихся после
вычеркивания i-строки
и j-столбца.
Алгебраическим
дополнением 
к
элементу
квадратной
матрицы А =
называется
произведением 
Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующее им алгебраическое дополнение
5.Определитель произведения матриц
Определитель произведения квадратных матриц одного ранга равен произведению их определителей.
6.Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестных
В матричной форме AX=B
Если определитель не равен 0, то система невырождена.
Ax=B
| * 
Запишем матричное равенство
получаем из 
путем замены первого столбца столбцом
свободного члена.
7.Обратная матрица и ее вычисление
Обратная матрица – такая матрица при умножении на исходную матрицу получается единичная матрица.
Способы вычисления:
С помощью единичной матрицы
С помощью алгебраических дополнений
8. Свойства обратной матрицы и новый вывод формул Крамера.
1)
определитель обратной матрицы и
определитель исходной матрицы являются
обратными величинами;
2) обратная
матрица произведения квадратных матриц
равна произведениюобратных матриц
сомножителей, взятому в обратном порядке:
3)
транспонированная обратная матрица
равна обратной матрице от данной
транспонированной матрицы:
4)для
данной матрицы А
ее обратная матрица
является единственной;
5)если
существует обратная матрица
,
то правая
обратная
и левая
обратная
матрицы совпадают с ней;
6) особенная
(вырожденная) квадратная матрица не
имеет обратной матрицы.
новый
вывод формул Крамера: Пусть нам требуется
решить систему линейных уравнений
вида:
где
x1, x2, …, xn – неизвестные переменные, ai j
, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые
коэффициенты, b1, b2, …, bn - свободные члены.
Решением СЛАУ называется такой набор
значений x1, x2, …, xn при которых все
уравнения системы обращаются в тождества.
В матричном виде эта система может быть
записана как A ⋅
X = B, где
-
основная матрица системы, ее элементами
являются коэффициенты при неизвестных
переменных,
-
матрица – столбец свободных членов, а
-
матрица – столбец неизвестных переменных.
После нахождения неизвестных переменных
x1, x2, …, xn, матрица
становится
решением системы уравнений и равенство
A ⋅
X = B обращается в тождество
.
Будем считать, что матрица А –
невырожденная, то есть, ее определитель
отличен от нуля. В этом случае система
линейных алгебраических уравнений
имеет единственное решение, которое
может быть найдено методом Крамера.
Для
нахождения неизвестной переменной x1
уравнения системы умножаем на
соответствующие алгебраические
дополнения первого столбца матрицы А:
Сложим
все левые части уравнения системы,
сгруппировав слагаемые при неизвестных
переменных x1, x2, …, xn, и приравняем эту
сумму к сумме всех правых частей
уравнений:
Если
обратиться к озвученным ранее свойствам
определителя, то имеем:
и предыдущее равенство примет вид
откуда
Аналогично
находим x2. Для этого умножаем обе части
уравнений системы на алгебраические
дополнения второго столбца матрицы А:
Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x1, x2, …, xn и применяем свойства определителя:
Откуда
.
Аналогично находятся оставшиеся
неизвестные переменные.
Если
обозначить
,
то
получаем формулы
для нахождения неизвестных переменных
по методу Крамера
.
Замечание.
Если система линейных алгебраических
уравнений однородная, то есть
,
то она имеет лишь тривиальное решение
(при
).
Действительно, при нулевых свободных
членах все определители
будут
равны нулю, так как будут содержать
столбец нулевых элементов. Следовательно,
формулы
дадут
.