Шпоры по вычмату / 017

Уравнения в частных производных и дополнительные условия

Уравнение в частных производных - это дифференциальное уравнение для функции многих переменных и оно определяет связь частных производных этой функции. В простейшем случае двух независимых переменных, например, , , уравнение в частных производных 1-го порядка для функции имеет вид

(9.1)

Требуется найти функцию . В общем случае в входит производные более высоких порядков, которые и определяют порядок уравнения. При решении трехмерных задач электродинамики, теплопроводности и других искомых функций зависит от четырех переменных – трех координат и времени . Приведем ряд конкретных, часто встречающихся уравнений.

Волновое уравнение , где - оператор Лапласа, который в декартовых координатах , , имеет вид , - заданная функция, если , то имеем однородное волновое уравнение.

Приведем вывод волнового уравнения для плоской волны электромагнитного поля в вакууме, удовлетворяющего уравнениям Максвелла:

, , , ,

где , - напряженность электрического и магнитного, , - плотность электрического тока и заряда, возбуждающих поле, , - диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума. В плоскости волны, распространяющейся в направлении , существуют только две компоненты поля, зависящее только от , .

,

Учитывая, что в декартовых координатах

Получили из первых двух уравнений Максвелла

, .

Дифференцируя первое из этих уравнений по , а второе по , и исключая , придем к неоднородному волновому уравнению для :

, где - скорость света в вакууме

Уравнение Пуассона . Оно получается из уравнений Максвелла для электростатического, не зависящего от времени поля (), когда и можно ввести потенциал электрического поля , т.к. .

В декартовых координатах, согласно определению градиента для вектора имеем

,

.

В результате из 4-го уравнения Максвелла получается уравнение Пуассона в декартовых координатах

.

В общем виде случае произвольных координат получается ,

Оператор Лапласа определяется при этом как .

Уравнение Лапласа . Оно определяет потенциал электростатического поля при отсутствии свободных зарядов, , когда поле возникает только из-за разности потенциалов на отдельных электродах, например на обкладках конденсатора.

Уравнение переноса. Оно описывает распространение в пространстве различных возмущений, причем скорость распространения характеризует величина . Нетрудно проверить, что при любая функция вида , т.е. с аргументом , является решением (9.2) и поэтому для определения конкретного решения должны быть заданы дополнительные условия.

Обычно при решении уравнения в частных производных задают либо начальные условия, либо граничные, либо те и другие. Эти условия записываются в виде равенств со значениями или известными функциями в правой части. Например, начальное условие для (9.2) задается в виде

,

(9.3)

а граничное - в виде

,

(9.4)

где , - конкретные заданные функции.

В случае уравнения (9.2) с начальным условием (9.3) получим решение

.

(9.5)

Рисуя функцию с различными сдвигами, получим распространение возмущений вдоль оси .

Метод конечных разностей (МКР).

Этот метод является самым простым численным методом решения уравнений в частных производных (УЧП). Название метода - МКР - связано с тем, что для вычисления производных в уравнении используется конечные разности вместо бесконечно малых разностей, которое входят в строгое определение производной через предел (lim) отношения. Рассмотрим основные этапы МКР на примере численного решения уравнения переноса (9.2).

1. Вводится сетка по всем переменным, т.е. выбираются шаги дискретизации по аналогии со случаем ОДУ, когда сетка определялась для одной переменной. Пусть ; - номера узлов для переменных и соответственно, и - шаги дискретизации по этим переменным, т.е.

,

(9.6)

Количество шагов дискретизации и обычно очень велико. Очевидно, что в данном случае рассматриваемая область является прямоугольником с размерами и для каждой ее точки нужно найти значения , см. рис. 9.1.

Рис. 9.1. Сетка для решения (9.2) в прямоугольной области.

2. Непрерывная функция заменяется дискретной с целыми значениями аргументов , , т.е. она будет определена только в узлах сетки.

3. Производные в уравнении заменяются выражениями через конечные разности, т.е. используется численное дифференцирование. Например, используя простейшую формулу численного дифференцирования (4.2), представим производные в (9.2) следующим образом

, .

(9.7)

4. Полученные производные подставляются в уравнение, что дает одно уравнение или систему уравнений для определения неизвестных значений функции в узлах. Например, подставив (9.7) в (9.2), получаем

,

(9.8)

где значение .

Рассмотрим применение (9.8) для вычисления значений функции u на рис. 9.1. Пусть заданы начальные значения, т.е. при всех . Эти значения обычно называют нулевым временным слоем. Подставляя их в (9.8), находим все значения для следующего временного слоя с , кроме значения . Последнее можно определить, задав либо граничные условия, либо значения при . Аналогичным образом находим значения для следующего слоя с и т. д.

Формулу вида (9.8), связывающую значения исходной функции в соседних узлах, называют разностной схемой. Если изобразить точками узлы, которые применяются при вычислении производных в исходном уравнении, то получаем шаблон. Шаблон характеризует расположение узлов для разностной схемы. Например, разностной схеме (9.8) соответствует трехточечный шаблон, показанный на рис. 9.2 и 9.1

Рис. 9.2. Шаблон для уравнения переноса (9.2)

Выбор шаблона зависит от уравнения, применяемых формул численного дифференцирования, а также от вида дополнительных условий. Например, при решении уравнения теплопроводности для двух переменных

,

(9.9)

с начальными и граничными условиями обычно используются четырехточечный шаблон рис. 9.3.

Рис. 9.3. Шаблон для уравнения теплопроводности (9.9).

5. Решение разностных уравнений выполняется для всех узлов сетки и в результате получается искомая функция . Для простых разностных схем каждое разностное уравнение позволяет вычислить одно новое значение по заданным или вычисленным значениям в соседних узлах. Такие разностные схемы называются явными. Если же одно разностное уравнение содержит несколько неизвестных значений, то приходится составлять систему уравнений, а затем ее решать. Такие разностные схемы называются неявными по аналогии с неявными методами решения ОДУ, и они будут рассмотрены ниже.

6. Пусть значения в узлах сетки найдены. Теперь необходимо проверить правильность решения, т.к. выбор шагов дискретизации и был произвольным. Как и в лекциях 4, 7, для контроля точности следует использовать либо другие шаги, либо другой метод. Оба решения следует сравнить в совпадающих узлах двух сеток и за оценку погрешности принять максимальное различие полученных значений.

7. Если после получения решения для всех узлов сетки потребуется решение между узлами сетки, т.е. для дробных значений и , то можно применить интерполяцию или аппроксимацию функции многих переменных. Например, в случае двух независимых переменных и линейной интерполяции строится плоскость для трех соседних узлов, между которыми находится рассматриваемая точка.

Условие устойчивости для явных разностных схем.

Как и в случае ОДУ, решение УЧП должно быть устойчивым, точным, эффективным. Устойчивость важна для явных разностных схем, и при ее нарушении не будет сходимости численного решения к точному даже при очень мелких шагах дискретизации. Как и при решении ОДУ, неустойчивость связана с усилением шумовых составляющих решения. Условие устойчивости показывает, что изменения шагов дискретизации по разным независимым переменным должны быть согласованы для получения требуемой точности. Условие устойчивости существует для любой явной разностной схемы, и оно определяется уравнением и схемой. Например, для уравнения переноса с разностной схемой (9.8) условие устойчивости имеет вид

,

(9.10)

а уравнение теплопроводности (9.9) с разностной схемой, которой соответствует шаблон рис. 9.3, имеет условие устойчивости

,

(9.11)

Для вывода условия устойчивости можно применить спектральный метод. Он сравнивает амплитуды гармонических составляющих на соседних слоях рис. 9.1 Пусть для слоя с номером m рассматривается пространственная гармоника вида

,

(9.12)

где - амплитуда гармоники, - волновое число, - шаг дискретизации по . На следующем временном слое эта гармоника изменит только свою комплексную амплитуду, т.е. будет иметь вид

.

(9.13)

Подставим (9.12), (9.13) в разностное уравнение (9.8) и получим отношение комплексных амплитуд

.

(9.14)

Устойчивость важна для убывающих решений (см. лекцию 7) и поэтому амплитуды любых гармоник, особенно шумовых, не должны возрастать, а иначе будет развиваться неустойчивость. Запишем это условие в виде

,

(9.15)

где

.

(9.16)

Очевидно, что при для любых значений условие устойчивости не выполняется, и отсюда для уравнений переноса с разностной схемой (9.8) следует условие устойчивости , т.е. (9.10).