Шпоры по вычмату / 016

Жесткие системы ОДУ и их численное решение

, или

(8.3)

Система ОДУ первого порядка (8.3) называется жесткой, если она имеет отрицательные значения частных производных и большой разброс значений  для функций с различными номерами, т.е.

(8.7)

В этом определении обозначение соответствует частной производной любой функции системы (8.3) по любой переменной из входящих в ее аргументы. Условие (8.7) может выполняться на всем отрезке или на его части. Очевидно, для одного уравнения нет условия (8.7), т. к. в этом случае имеется только одна производная , которая рассматривалась в разделе 7.2.

При моделировании переходных процессов в электронных схемах обычно получаются жесткие системы ОДУ. Это можно показать, рассматривая любую RC-цепочку реальной схемы, а их всегда в схеме очень много. Известно, что для изолированной RC-цепочки математическая модель имеет вид (7.9) и значение называется постоянной времени цепочки, т.е. , , .

Для разных RC-цепочек схемы получаем различные значения , которые и определяют значения частных производных в (8.7). Следовательно, для реальных схем обычно выполняется условие жесткости (8.7) и системы ОДУ для моделирования схем являются жесткими.

Жесткие системы ОДУ решать явными методами очень сложно и для них применяют неявные методы, которые всегда устойчивы.

Рассмотрим произвольную электронную схему с постоянными времени , , и т.д. Пусть и  - это минимальное и максимальное значения постоянных времени для всех -цепочек схемы, а функции и определяют изменение напряжения в узлах схемы, соответствующих этим двум цепочкам. Все функции для других узлов влияют на рассматриваемые, но для оценок их влиянием можно пренебречь.

Для примера возьмем конкретные значения нс, нс, а длительность интервала моделирования нс. Рис.8.2 представляет поведение функций и , причем значения первой в момент нс близки к нулю из-за малой постоянной времени .

Рис. 8.2. Решение жесткой системы ОДУ.

Оценим количество шагов для методов Эйлера - явного и неявного.

Для явного метода выберем шаг интегрирования нс и попытаемся увеличить его при нс, когда переходные процессы в первой цепочке затухнут. Но существенное увеличение шага оказывается невозможным, т.к. необходимо выполнение условия устойчивости (7.10) , и максимальный возможный шаг при нс равен нс. Всего на отрезке получаем шагов.

Для неявного метода Эйлера нет ограничений на шаг и поэтому при нс его можно увеличить до 2 нс. Получаем, что общее количество шагов равно , т.е. существенно меньше, чем в явном. В реальных задачах эти различия еще более заметны. Хотя вычисления на каждом шаге в неявном методе значительно сложнее, чем в явном (на каждом шаге решается система нелинейных уравнений), но выигрыш в процессорном времени получается за счет меньшего количества шагов при той же точности (см. раздел 8.5).

Вывод: неявные методы для жестких систем ОДУ обычно более эффективны по затратам процессорного времени, т. к. они позволяют резко увеличивать шаги в процессе получения убывающих решений при моделировании переходных процессов.

ОДУ высших порядков.

В предыдущих разделах рассматривались ОДУ первого порядка, т.е. уравнения с . Порядок старшей производной в уравнении - это порядок дифференциального уравнения. Пусть дано ОДУ порядка разрешенное относительно старшей производной

(8.4)

Задача Коши. Для решения задаются: отрезок, шаг интегрирования и начальные условия, т.е. функция и все ее производные при , кроме -й:

Пример задачи Коши для :

,

c начальными условиями , при .

Для численного решения (8.4) его преобразуют в систему ОДУ первого порядка и решают ее стандартными методами.

Покажем, как выполняется это преобразование. Для функции и ее производных введем массив функций.

Эти обозначения и (8.4) запишем в виде системы ОДУ, пологая

.

Для применения любого численного метода решения задачи Коши должны быть заданы начальные значения всех функций, т.е. значения , , , ..., . В результате решения получаем m функций, но выводят для анализа обычно лишь наиболее важные.