Шпоры по вычмату / 011

Метод секущих.

Этот метод является наиболее распространенным, т.к. не требует получения формул для производных, как в методе Ньютона. Для вычисления нового значения в нем также используется линейная интерполяция, но прямая проводится через две точки  -  текущую и предшествующую. Для начала итераций задают начальное значение , т.е. это абсцисса первой точки, а абсциссу для второй точки выбирают равной . Новое значение на итерации соответствует точке пересечения прямой, т.е. секущей для функции, c осью (рис.5.4.). Фактически метод секущих совпадает с методом Ньютона, но при численном определении производной по двум точкам.

Рис.5.4.

Формулу для метода секущих можно получить из метода Ньютона, если в (5.3) заменить значение результатом численного дифференцирования по двум точкам с помощью конечных разностей и , т.е.,

где и - координаты двух соседних точек. Подставляя и в (5.3 - 5.4) получаем для метода секущих новое приближение к корню

.

Эту же формулу можно получить, если провести прямую через две рассматриваемые точки и найти координату ее пересечения с осью . На -м шаге имеем

Погрешности обоих рассмотренных методов определяются только погрешностями исходных данных и погрешностями округления, т.к. погрешность метода стремится к нулю при увеличении количества итераций.

Метод секущих реализован в MathCAD при вычислении корня с помощью встроенной функции root, обращение к которой имеет вид: .

При этом до обращения или в обращении должна быть определена функция , и до обращения заданы начальные значения и TOL=EPS.

Метод последовательных приближений (метод простых итераций).

Запишем исходное уравнение (5.1) в виде , это можно сделать разными способами, например вводя функцию соотношением ,

где произвольная не обращающаяся в нуль функция на интервале , где ищется корень. Зададим начальное значение корня , а затем будем вычислять последовательно ,

При определенных условиях на функцию и удачном начальном значении последовательность , , … сходится, и получаем корень уравнения с погрешностью , если с возрастанием .

Вместе с тем, сходимости может и не быть, в этом случае при вычислениях на ЭВМ можно поменять начальное приближение или функцию .

а) сходящийся процесс	б) расходящийся процесс
Рис. 5.5. Простые итерации при разных функциях .

Заметим, что простые итерации могут отображать реальные физические процессы. Например рис 5.5.а соответствует установлению определенной амплитуды колебаний в автогенераторе. Наоборот, рис. 5.5.б показывает существование в генераторе с определенной характеристикой колебаний с хаотическим изменением амплитуды. Такие колебания в настоящее время широко изучаются в физике, механике, радиоэлектронике, метеорологии и других областях науки.