Шпоры по вычмату / 020

11.1. Задача спектрального анализа и цифровая обработка сигналов.

Непрерывную или дискретную функцию одного переменного можно представить рядов Фурье по тригонометрическим функциям , или интегралом Фурье от этих функций. Задача спектрального анализа состоит в определении спектра функции – кооффициентов ряда Фурье и спектральной плотности в интеграле Фурье в зависимости от частоты или круговой частоты . Спектральный анализ сигналов имеет очень важное значение в радиоэлектронике, поэтому функцию обычно рассматривают как сигнал, зависящей от времени .

Цифровая обработка состоит из двух больших областей: спектрального анализа и цифровых фильтров. Обе области рассматривают цифровые сигналы, называемые также дискретными, которые представляются в виде дискретных функций времени с постоянным шагом дискретизации , т.е. время , где – номер отсчета . Цифровой сигнал получается при дискретизации аналогового сигнала , представляемого непрерывной функцией времени.

Алгоритмы цифровой обработки позволяют выполнять различные преобразования дискретных функций, причем можно преобразовывать как сами функции, так и их спектры.

Рассмотрим периодические и непериодические сигналы. В таблице 11.1 приводятся основные характеристики сигналов и их спектров, причем используются следующие обозначения:

Д=1 означает дискретный, Д=0 – аналоговый, П=1 означает периодический, П=0 – непериодический.

11.3. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

ДПФ позволяет вычислять спектр дискретного сигнала, в том числе полученного из аналогового сигнала выборкой его значений , , . Оно основано на следующих положениях.

1. Сигнал является периодическим или периодически продолженным, - период.

2. Сигнал является дискретным и имеет постоянный шаг дискретизации .

3. Отсчеты сигнала на периоде представляются массивом , где – номера отсчетов, .

4. Количество отсчетов на периоде равно .

5. Условие периодичности сигнала имеет вид , т.е. .

6. Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных , , где – номера отсчетов сигнала, – номера спектральных составляющих.

7. Номера – это номера гармоник. Для вещественного сигнала (комплексный будет рассмотрен позже) значения для четного , т.е. гармоник вдвое меньше, чем отсчетов сигнала. Нечетные значения возможны, но мы их рассматривать не будем. Значение показывает количество полных колебаний на периоде. Например, на рис.11.2 показан гармонический сигнал для .

8. Для каждой гармоники определяются ее амплитуда и фаза. В вычислениях амплитуд и фаз используются синусных составляющих и косинусных составляющих, т.к. две синусные составляющие и являются нулевыми и не учитываются в формулах.

Рис. 11.2. Гармонический сигнал для

11.4. Безразмерные переменные

В ДПФ рассматриваются следующие физические переменные, характеризующие сигнал: время , период , частота -ой гармоники , шаг дискретизации  , и для каждой переменной используется ее безразмерный аналог, см. таблицу 11.2.

Таблица 11.2

	Переменные
	размерные	безразмерные
Период
Время
Шаг дискретизации		1 или
Частота

– количество отсчетов на периоде, – номера отсчетов, – номера гармоник.

Связь размерных и безразмерных переменных дают простые формулы

, , , ,

(11.9)

где – частота первой гармоники, называемая также основной, - безразмерный шаг дискретизации. Безразмерные переменные позволяют использовать универсальные стандартные подпрограммы ДПФ для любых сигналов, т.к. размерные значения периода и частот в основных формулах не используются. Для спектрального анализа важны номера гармоник, а не размерные значения частот.

Используя (11.1), нетрудно показать, что гармоническое колебание или может быть записано в виде или , т.к. .

11.5. Формулы ДПФ для вещественного сигнала.

Пусть рассматривается сигнал , . По отсчетам можно найти значений коэффициентов , , в том числе значений и значений . Эти коэффициенты определяют среднее значение сигнала и гармоник сигнала, . Поэтому в ДПФ получается только отрезок ряда Фурье, который в размерных переменных имеет вид

, , .(11.10)

или 11(11.11)

Это обратное ДПФ.

Прямое ДПФ определено формулами для коэффициентов , при переходе от интегралов к суммам

, (11.12)

(11.12) (11.14)

В безразмерном виде основные формулы ДПФ имеют вид :

(11.15)

или (11.16)

Формула (11.15) позволяет восстанавливать форму сигнала по его известному спектру и поэтому ее называют обратным ДПФ. Если же сигнал задан, т.е. известен массив и нужно определить его спектр, то применяется прямое ДПФ. Оно дает синусные и косинусные коэффициенты в (11.15) путем суммирования всех отсчетов сигнала.

(11.17)

(11.18)

Эти формулы применимы для гармоник с номерами , а для нулевой гармоники () и последней в них нужно заменить коэффициент на . Из (11.18) следует, что и произвольные, т.к. Из (11.17) для нулевой и последней гармоник получаем

, (11.19)

(11.20)

Из (11.19) следует, что коэффициент определяет средний уровень сигнала на периоде, т.е. амплитуду постоянной составляющей .

Формулы (11.17), (11.18) можно пояснить также следующим образом. Суммирование произведений в них означает проверку ортогональности сигнала и гармонического колебания определенной частоты. Их ортогональность, соответствующая нулевым или малым коэффициентам и означает, что они  непохожи , т.е. таких колебаний нет в сигнале.