Шпоры по вычмату / 013

Неявный метод Эйлера.

Рассмотренный выше метод Эйлера является явным, т.к. формула (6.3) записана в явном виде и простой расчет на ЭВМ или калькуляторе сразу дает значение . Если говорят о методе Эйлера, то всегда подразумевают явный метод (6.3). Но есть и неявный метод Эйлера, который существенно сложнее метода Эйлера. Неявный метод аналогичен рассмотренному, но на каждом шаге используется значение в правой точке, которое до выполнения вычислений неизвестно. При этом формула (6.3) принимает вид

(6.6)

Здесь все значения известны, кроме . Так как оно есть и в левой, и в правой частях (6.6), то для его вычисления нужно решить нелинейное уравнение вида

,

(6.7)

где , т.е. неизвестное значение задано неявно.

Методы решения (6.7) были рассмотрены в лекции 5. Следовательно, в неявном методе Эйлера на каждом шаге нужны итерации для нахождения корня, что очень сложно. Поэтому в случае одного уравнения в форме Коши (6.2) неявный метод Эйлера никогда не применяется, но он широко применяется в случае систем ОДУ (см. лекцию 8). Отметим, что при решении ОДУ в общей форме (6.1) после применения формул численного дифференцирования на каждом шаге также получается уравнение (6.7), см. лекцию 10.

Устойчивость неявного метода Эйлера

Повторим все преобразования предыдущего раздела для неявного метода Эйлера (6.6) вместо (6.3). При этом в качестве основной возьмем точку вместо и запишем (7.6) в виде

.

(7.11)

Значение коэффициента в (7.7) изменится и будет иметь вид

.

(7.12)

Для уравнений с затуханием, которым соответствуют значения , , получаем всегда , т.е. неявный метод Эйлера устойчив при любых шагах (см. рис.7.1).

Другие неявные методы, как и неявный метод Эйлера, всегда устойчивы и поэтому они широко применяются для решения систем ОДУ при моделировании схем в радиоэлектронике (см. лекцию 10).