13. Распределение Больцмана

Это распределение по энергиям частиц (атомов, молекул) идеального газа в условиях термодинамического равновесия. Распределение Больцмана было открыто в 1868 - 1871 гг. австралийским  физиком Л. Больцманом. Согласно распределению, число частиц n_i с полной энергией E_i    равно:

n_i =A•ω_i •e^­E_i ^/Kt                               (1)

где ω_i  - статистический вес (число возможных состояний частицы с энергией e_i). Постоянная А находится из условия, что сумма n_i по всем возможным значениям i равна заданному полному ч ислу частиц N в системе (условие нормировки):

В случае, когда движение частиц подчиняется классической механике, энергию E_i можно считать состоящей из кинетической энергии E_iкин частицы (молекулы или атома), её внутренней  энергии E_iвн (напр., энергии возбуждения электронов) и потенциальной энергии E_i,_пот во внешнем поле, зависящей от положения частицы в пространстве:

E_i = E_i, кин + E _i, вн + E_i, пот            (2)

Распределение частиц по скоростям  является частным случаем распределения Больцмана. Оно имеет место, когда можно пренебречь внутренней энергией возбуждения

E_i,вн и влиянием внешних полей E_i,пот. В соответствии с (2) формулу (1) можно представить в виде произведения трёх экспонент, каждая из которых даёт распределение частиц по одному виду энергии.

В постоянном поле тяжести, создающем ускорение g, для частиц атмосферных газов вблизи поверхности Земли (или др. планет) потенциальная энергия пропорциональна их массе m и высоте H над поверхностью, т.е. E_{i, пот} = mgH. После подстановки этого значения в распределение Больцмана и суммирования по всевозможным значениям кинетической и внутренней энергий частиц получается барометрическая формула, выражающая закон уменьшения плотности атмосферы с высотой.

В астрофизике, особенно в теории звёздных спектров, распределение Больцмана часто используется для определения относительной заселённости электронами различных уровней энергии атомов. Если обозначить индексами 1 и 2 два энергетических состояния атома, то из распределения следует:

n₂/n₁ = (ω₂/ω₁)•e^-(E₂^-E₁^)/kT            (3)      (ф-ла Больцмана).

 Разность энергий E₂-E₁ для двух нижних уровней энергии атома водорода >10 эВ, а значение kT, характеризующее энергию теплового движения частиц для атмосфер звёзд типа Солнца, составляет всего лишь 0,3-1 эВ. Поэтому водород в таких звёздных атмосферах находится в невозбуждённом состоянии. Так, в атмосферах звёзд, имеющих эффективную температуру Тэ > 5700 К (Солнце и др. звёзды), отношение чисел атомов водорода во втором и основном состояниях равно  4,2•10^-9.

Распределение Больцмана было получено в рамках классической статистики. В 1924-26 гг. была создана квантовая статистика. Она привела к открытию распределений Бозе - Эйнштейна (для частиц с целым спином) и Ферми - Дирака (для частиц с полуцелым спином). Оба эти распределения переходят в распределение, когда среднее число доступных для системы квантовых состояний значительно превышает число частиц в системе, т. о. когда на одну частицу приходится много квантовых состояний или, др. словами, когда степень заполнения квантовых состояний мала. Условие применимости распределении Больцмана можно записать в виде неравенства:

г де N - число частиц, V - объём системы.  Это неравенство  выполняется при высокой темп-ре и малом числе частиц в ед. объёма (N/V). Из этого следует, что чем больше масса частиц, тем для более широкого интервала изменений Т и N/V справедливо распределение Больцмана..