Раздел 8. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы

Лекция 4.

Задачи, приводящие к понятию кратных и криволинейных интегралов. Масса пластины, тела, материальной кривой.

Определение двойного интеграла, свойства. Понятие правильной области. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к двукратному интегралу в декартовых и полярных координатах. Приложения двойного интеграла: объем тела, статический момент, координаты центра тяжести неоднородной пластинки.

Тройной интеграл. Вычисление в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Приложения*.

Криволинейный интеграл первого рода. Вычисление длины дуги. Вычисление работы переменной силы по криволинейной траектории. Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина*.

Лекция 1.

Скалярное и векторное поля. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент скалярного поля. Поток векторного поля. Поток векторного поля через ориентированную поверхность, его свойства и физический смысл*.

Поверхностные интегралы по координатам. Поток векторного поля через ориентированную поверхность, его свойства и физический смысл.

Дивергенция векторного поля, ее свойства и вычисление в декартовых координатах. Физический смысл дивергенции. Формула Гаусса- Остроградского*.

Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Ротор поля, его физический смысл. Формула Стокса*.

Потенциальное поле, его свойства. Условие потенциальности. Способы определения потенциала. Оператор Гамильтона и Лапласа. Дифференциальные операции второго порядка*.

Лекция 2.

Понятия о дифференциальных уравнениях, их классификация. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Частное и общее решение. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах (уравнения с разделенными и разделяющимися переменными).

Уравнения, интегрируемые в квадратурах (однородное, линейное, Бернулли, в полных дифференциалах).

Лекция 3.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Основные понятия. Интегрирование некоторых уравнений, допускающих понижение порядка. Линейные уравнения второго порядка, однородные и неоднородные. Теоремы о структуре общего решения.

Решение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

Метод вариации произвольных постоянных как метод нахождения общего решения неоднородного уравнения. Приложения к описанию линейных моделей*.

Нормальная система дифференциальных уравнений. Матричная запись системы. Геометрический смысл решения. Фазовая плоскость (пространство), фазовая кривая. Задача Коши. Решение систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами*.

Раздел 11. Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье.

Лекция 4.

Числовые ряды. Сумма и сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда с положительными членами. Достаточные признаки сходимости. Признаки сравнения.

Признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость*.

Функциональные ряды, область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов*.

Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций. Применение рядов (приближенное вычисление значений функции, интегрирование функции и дифференциальных уравнений^*).

Ряды Фурье. Разложение периодической функции с периодом и в ряд Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Периодическое продолжение функций четным и нечетным образом. Применение тригонометрических рядов Фурье в приближенных вычислениях*.

IV семестр

Раздел 12. Теория вероятностей

Лекция 1.

Предмет теории вероятностей. Случайные события и их виды. Различные подходы к определению вероятности: классический, статистический, аксиоматический.

Элементы комбинаторики. Алгебра событий. Правило сложения вероятностей. Правило умножения вероятностей.

Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные испытания. Схема Бернулли. Формула Бернулли.

Понятие случайной величины. Виды случайных величин. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Функция распределения, ее свойства. Некоторые законы распределения. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

Лекция 2.

Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия. Типовые распределения. Нормальный закон распределения. Понятие о различных формах закона больших чисел*. Центральная предельная теорема Ляпунова*.

Раздел 13. Основные понятия и методы математической статистики.

Статистические методы обработки экспериментальных данных.

Лекция 3.

Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочные средняя и дисперсия.

Статистические оценки числовых характеристик. Точечные оценки: Общие свойства: несмещенность, состоятельность, эффективность, достаточность. Методы получения точечных оценок неизвестных параметров распределения: метод максимального правдоподобия.

Лекция 4.

Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Построение доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины.

Статистическая проверка статистических гипотез. Общая постановка задачи. Виды гипотез. Критическая область, уровень значимости и мощность критерия.

Ошибки первого и второго рода. Непараметрические гипотезы. Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона. Параметрические гипотезы. Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности. Понятие о критериях согласия. Проверка непараметрической гипотезы по критерию Пирсона.

Статистическая и корреляционная зависимости. Уравнение регрессии. Две основные задачи теории корреляции.