Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского

Мы видели, что интегрирование некоторых рациональных дробей часто связано с утомительными выкладками.

Метод Остроградского значительно сокращает и упрощает интегрирование этих дробей, что делает этот метод ценным.

В основе указанного метода лежит следующая формула Остроградского:

,

Где - правильная несократимая рациональная дробь;

- общий наибольший делитель многочлена его производной ;

- частное от деления на ;

- неизвестные многочлены, степень каждого из которых по крайней мере на единицу ниже соответствующего знаменателя; при этом называется рациональной частью интеграла.

Как практически выполняется интегрирование правильных рациональных дробей с помощью метода Остроградского, покажем на примере:

Пример6.6.60. ;

Применяем метод Остроградского. Здесь ;

Поэтому наибольший общий делитель: и есть ;

Тогда ;

Следовательно, согласно формуле Остроградского, мы будем иметь:

где и - многочлены степени не выше второй.

Напишем их с неопределенным коэффициентом

Дифференцируя обе части этого равенства найдем:

;

Освобождаясь от знаменателя, получим тождество:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левых частях этого тождества, получим систему уравнений:

, Решая ее, найдем:

,

,

,

,

. Следовательно

.

; ;

и т.д.

Подстановки Эйлера

Интегралы вида

Где - рациональная относительно и функция;

; могут быть вычислены с помощью специальных рационализирующих подстановок, называемых подстановками Эйлера.

Вообще, для вычисления интегралов этого вида существует много различных приемов, например, тригонометрические подстановки и другие, о которых шла речь выше.

Рассмотрим эти подстановки:

1-я подстановка Эйлера.

Так называется подстановка

Она применяется, если

Обе указанные разновидности этой подстановки (со знаком «+» и со знаком «-») однотипны (вопрос о том, какая из них удобнее, решается в каждом отдельном случае по-своему).

Рассмотрим одну из них: ; возводя обе части в получим:

видим, что член уничтожается – в этом “соль” данной подстановки

.

Тогда ;

.

т.е. вопрос свелся к интегрированию рациональной функции

Пример6.6.61. .

Где, .

2-я подстановка Эйлера:

;

Она применяется, когда

Пусть

_,

Откуда видно, что рационально выражаются через t и dt.

Пример6.6.62.

где

3 -я подстановка Эйлера:

Пусть , но корни трехчлена действительны (если корни мнимые, то трехчлен при любом значении – при - отрицателен).

Пусть и - корни трехчлена, кроме того, пусть .

Пример6.6.63.

Где,

6.7. Определенные интегралы Понятие определенного интнграла

Пусть на [a;b] задана непрерывная функция у =f(x).

Разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков с помощью произвольно выбранных на нем точек .

На каждом из отрезков (частичных) возьмем произвольные точки ξ_i (i=1,2,3…n). Во взятых точках вычислим значения функции f(x): f(ξ₁), f(ξ₂), f(ξ₃)…, f(ξ_n).

Составим произведения длин ∆x₁ , ∆x₂, …,∆x_n частичных отрезков на значения функции f(ξ_i).

Все эти произведения сложим и выразим сумму их через

(6.7.1)

где σ=f(ξ₁)∆х₁+f(ξ₂) ∆х₂+f(ξ₃)∆х₃+…+ f(ξ_n)∆х_n; или

Сумму такого вида называют интегральной суммой, составленной для функции f(x)на отрезке [a;b].

Будем неограниченно увеличивать число делений отрезка [a;b]однако так, чтобы длина ∆x_iкаждого отрезка [x_i-1;x] стремилась к нулю; и рассмотрим получающееся при этом множество интегральных сумм σ.

Еслипри этом разбиении интегральные суммы будут стремиться к одному и тому же пределу, то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x)на отрезке[a;b].

Определение.

Если существует пределсуммы (1) при ∆х_i→0, то говорят, что функция f(x) интегрируема на [a;b], число I называют определенным интегралом от функции f(x) на [a;b]. ,

где числа «а» и «b» называются пределами интегрирования (или интеграла), соответственно нижним, верхним; отрезок [a;b] – промежутком интегрирования.

Основные свойства определённого интеграла

1. По определению .

2. По определению .

3. Каковы бы ни были числа a, b, c, всегда имеет место равенство

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т. е.

.

5. Определённый интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.

.