Вычисление поверхностного интеграла II рода

Пусть гладкая поверхность S задана уравнением z = z (x,y) . Определена в замкнутой области G – проекции S на плоскость ОХУ . Рассмотрим на поверхности S

R(x,y,z) – непрерывная функция .

Разобьём S произвольно на n частей G₁ , G₂ , . . . ,G_n .

Выберем по произвольной точке М_i (_i , _i, _i) .

Составим интегральную сумму :

= ,

где S_i – площадь G_i , так как точка _i = Z(_i , _i) .

Переходя в (4.1) к пределу при d0 получаем

.

Аналогично :

.

G₁ – проекция S на Oyz .

G₂ – проекция S на Ozх .

Связь между поверхностными интегралами I и II рода

Пусть гладкая ориентированая поверхность , на которой задана непрерывная вектор – функция (М) = [ P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z)] , (M) – единичная нормаль = ( cos , cos , cos ) , тогда

Отсюда видно , что если выбрать другую сторону поверхности , то направляющий косинус изменит знак .

Пример 6.8.11.Вычислить

, где S - поверхность треугольника , образованного пересечением плоскости х – у +z = 1 с координатными плоскостями : х = 0 , у = 0 , z = 0 в верхней стороне поверхности .

.

Формула Остроградского Связь между поверхностным интегралом и тройным интегралом

ТеоремаЕсли функции P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z)непрерывны вместе со своими частными производными I-го порядка в области V , ограниченной замкнутой поверхностью S , то имеет место формула

.

Пример 6.8.12.

,

где S – внешняя сторна сферы x² + y² + z² = R² .

Решение.

Применим формулу Остроградского :

Вводим сферические координаты

.

Связь поверхностного интеграла с криволинейным интегралом. Теорема Стокса

Теорема Если Р(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) есть непрерывные функции вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место формула

,

где L – граница поверхности S ;cos , cos , cos - направляющие косинусы нормали к поверхности S .

Пример 6.8.13.Вычислить с помощью формулы Стокса ,

L- окружность

А поверхностью S служит верхняя сторона полусферы x² + y² +z² =1.

.

7.Контрольные работы

7.1.Контрольная работа №1

Задание 1. Для матрицы третьего порядка вычислите ее определитель

и определитель матрицы, транспонированной к данной.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20.

Задание 2. Вычислите определитель четвертого порядка

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. ; 11. ; 12. ;

13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ;

19. ; 20.

Задание 3. Найдите матрицу, обратную матрице. Проверьте результат, вычислив произведение взаимно обратных матриц.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

Задание 4. Решите систему линейных уравнений матричным способом.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

Задание 5. Решите систему линейных уравнений по формулам

Крамера.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8 . ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

Задание 6. Найдите все решения однородной системы линейных уравнений методом Гаусса.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16 ;

17. ; 18. ;

19. ; 20.

Задание 7. Даны координаты векторов а₁, а₂, а₃, а₄ и b в некотором базисе. Покажите, что векторы а₁, а₂, а₃, а₄ образуют базис и найдите координаты вектора b в этом базисе.

1. а₁(1,2,-1,-2); а₂(2,3,0,1); а₃(1,2,1,3); а₄(1,3,-1,0);b(7,14,-1,2).

2. а₁(2,1,0,-1); а₂(2,3,0,-2); а₃(2,4,2,1); а₄(0,-3,0,2);b(5,2,1,0).

3. а₁(1,1,4,2); а₂(2,-1,3,1); а₃(0,2,0,0); а₄(1,-1,0,1);b(5,0,0,5).

4. а₁(1,2,3,4); а₂(2,3,4,1); а₃(3,4,1,2); а₄(4,1,2,3);b(2,2,2,4).

5. а₁(2,0,0,0); а₂(0,4,0,0); а₃(0,0,6,0); а₄(0,0,0,8);b(6,7,0,1).

6. а₁(1,2,-1,-2); а₂(2,3,0,1); а₃(1,2,1,3); а₄(1,3,-1,0);b(6,7,0,1).

7. а₁(2,3,4,5); а₂(3,4,5,2); а₃(4,5,2,3); а₄(5,2,3,4);b(-1,2,1,-2).

8. а₁(3,5,-1,-1); а₂(3,5,1,4); а₃(2,5,0,3); а₄(1,3,-1,0);b(7,14,-1,2).

9. а₁(4,4,0,-3); а₂(4,7,2,-1); а₃(2,1,2,3); а₄(0,-3,0,2);b(5,2,1,0).

10. а₁(3,0,7,3); а₂(2,1,3,1); а₃(1,1,0,1); а₄(1,-1,0,1);b(5,0,0,5).

11. а₁(3,5,7,5); а₂(5,7,5,3); а₃(7,5,3,5); а₄(4,1,2,3);b(2,2,2,4).

12. а₁(2,4,0,0); а₂(0,4,6,0); а₃(0,0,6,8); а₄(0,0,0,8);b(-14,6,0,1).

13. а₁(1,2,-1,-2); а₂(3,5,-1,-1); а₃(3,5,1,4); а₄(2,5,0,3);b(6,7,0,1).

14. а₁(2,1,0,-1); а₂(4,4,0,-3); а₃(2,7,2,-1); а₄(2,1,2,3);b(-3,2,5,0).

15. а₁(5,7,9,7); а₂(7,9,7,5); а₃(9,7,5,7); а₄(5,2,3,4);b(-1,2,1,-2).

16. а₁(1,3,5,3); а₂(3,5,3,2); а₃(5,3,1,3); а₄(3,0,1,2);b(-6,0,2,-3).

17. а₁(-1,1,3,1); а₂(1,3,1,-1); а₃(3,-1,-1,1); а₄(2,-1,0,1);b(-3,6,7,-2).

18. а₁(0,1,2,3); а₂(1,2,3,0); а₃(2,3,0,1); а₄(3,0,1,2);b(-6,0,2,-3).

19. а₁(-1,0,1,2); а₂(0,1,2,-1); а₃(1,2,-1,0); а₄(2,-1,0,1);b(-3,6,7,-2).

20. а₁(4,4,3,0); а₂(-17,24,1,1); а₃(-6,-1,2,0); а₄(-5,3,1,0);b(-9,10,1,1).

Задание 8

По координатам вершин пирамиды а₁ а₂ а₃ а₄ найти:

1) длины ребер а₁ а₂ и а₁ а₃;

2) угол между ребрами а₁ а₂ и а₁ а_з;

3) площадь грани а₁ а₂ а₃;

4) объем пирамиды а₁ а₂ а₃ а₄;

5) уравнения прямых а₁ а₂ иа₁ а₃;

6) уравнения плоской а₁ а₂ а₃ иа₁ а₂ а₄ ;

7) угол между плоскостями а₁ а₂ а₃ иа₁ а₂ а₄;

8) угол между ребром а₁ а₃ и гранью а₁ а₂ а₄ ;

9) уравнение высоты, опущенной из вершины а₄ на грань а₁ а₂ а₃ ;

10) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенную из вершины а₄ на грань а₁ а₂ а₃ , и вершину а₁ пирамиды ;

11) расстояние от вершины.а₃до плоскости а₁ а₂ а_4.

	а1	а2	а3	а4
1	(3;1;4)	(-1;6;1)	(-1;1;6)	(0;4;-1)
2	(3;3;9)	(6;9;1)	(1;7;3)	(8;5;8)
3	(3;5;4)	(5;8;3)	(1;9;9)	(6;4;8)
4	(2;4;3)	(7;6;3)	(4;9;3)	(3;6;7)
5	(9;5;5)	(-3;7;1)	(5;7;8)	(6;9;2)
6	(0;7;1)	(4;1;5)	(4;6;3)	(3;9;8)
7	(5;5;4)	(3;8;4)	(3;5;10)	(5;8;2)
8	(6;1;1)	(4;6;6)	(4;2;0)	(1;2;6)
9	(7;5;3)	(9;4;4)	(4;5;7)	(7;9;6)
10	(6;6;2)	(5;4;7)	(2;4;7)	(7;3;0)
11	(0;3;2)	(-1;3;6)	(-2;4;2)	(0;5;4)
12	(-1;2;0)	(-2;2;4)	(-3;3;0)	(-1;4;2)
13	(2;2;3)	(1;2;7)	(0;3;3)	(2;4;5)
14	(0;-1;2)	(-1;-1;6)	(-2;0;2)	(0;1;4)
15	(3;0;2)	(2;0;6)	(1;1;2)	(3;2;4)
16	(0;2;-1)	(-1;2;3)	(-2;3;-1)	(0;4;1)
17	(2;3;2)	(1;3;6)	(0;4;2)	(2;5;4)
18	(-1;0;2)	(-2;0;6)	(-3;1;2)	(-1;2;4)
19	(2;0;3)	(1;0;7)	(0;1;3)	(2;2;5)
20	(2;-1;2)	(1;-1;6)	(0;0;2)	(2;1;4)

Задание 9

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно плоскостям  и :

	M		
1	(2;1;-5)	3X-2Y+Z+7=0	5X-4Y+3Z+1=0
2	(1;-1;1)	X-Y+Z-1=0	2X+Y+Z+1=0
3	(2;-1;1)	3X+2Y-Z+4=0	X+Y+Z-3=0
4	(1;8;2)	5X+6Y+11Z-3=0	3X+Y+4Z-12=0
5	(-1;-2;0)	4X+6Y-5Z-14=0	X+3Y-2Z-1 =0
6	(5;1;2)	X-7Y-2Z-10=0	2X-2Y-Z-13=0
7	(2;4;1)	X-2Y+5Z-7=0	2X-3Y+7Z-5=0
8	(1;1;1)	X-2Y+2Z+8=0	3X+5Y+7Z-1=0
9	(1;4;5)	X+Y+5Z+3=0	3X+2Y+8Z-9=0
10	(3;0;7)	X+Y+4Z=0	3X+2Y+7Z-2=0

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М₁, М₂ перпендикулярно плоскости  :

	М1	М2	
11	(2;-1;4)	(3;2;1)	X+Y+Z-3=0
12	(1;1;1)	(2;2;2)	X-Y-Z=0
13	(0;-5;0)	(0;0;2)	X+5Y+2Z-10=0
14	(2;0;-1)	(1;-1;3)	3X+2Y-Z+3=0
15	(-1;-2;0)	(1;1;2)	X+2Y+2Z-4=0
16	(1;-2;4)	(2;-3;5)	X+Y-3Z+8=0
17	(0;1;3)	(1;2;7)	X+2Y+5Z+6=0
18	(1;1;0)	(2;-1;-1)	5X+2Y+3Z-7=0
19	(1;4;0)	(2;14;3)	X+6Y+Z-3=0
20	(9;1;1)	(19;2;2)	17X+2Y+Z+11=0
21	(7;1;0)	(26;2;3)	9X+Y+Z-17=0
22	(0;1;2)	(-1;2;3)	X+Y-Z+2=0
23	(3;4;6)	(5;1;5)	X+2Y+3Z-6=0
24	(4;1;0)	(2;-1;1)	X-Y+Z-3=0
25	(1;0;1)	(-1;1;0)	X+2Y-Z-1=0

Задание 10

Составить канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей  и :

		
1	x-2у+2z-8=0	x+2z-6=0
2	3x-5y+z-8=0	2x+y-z+2=0
3	x-2y+3z-4=0	3x+2y-5z-4=0
4	x+z-6=0	x+6y-4=0
5	x+2y-4=0	x-2y+2z-8=0
6	x+2Z-6=0	x+y+z-6=0
7	x+2y+3z-13=0	3x+y+4z-14=0
8	x+2y+3z-1=0	2x-3y+2z-9=0
9	2x+7y-z-8=0	Х+2y+z-4=0

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А параллельно прямой ℓ:

	А	ℓ
10	(3;1;-1)	X+5y+2=0 3х+4y+2z-8=0
11	(2;0;-3)
12	(-4;3;0)	x-2y+z-4=0 2x+y-z=0
13	(2;-5;9)	2x-3y-3z-9=0 x-2y+3=0

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямым ℓ₁ и ℓ₂:

	А	ℓ1	ℓ2
14	(2;-3;4)
15	(0;1;1)
16	(2;-3;4)	x=t;y=t;z=2t+5	x=3t+8;y=2t-4;z=t+2
17	(0;1;-1)	x=3t+1;y=15t;z=7t-2	x=t;y=2t-5;z=6
18	(0;-1;1)	x=2t;y=t-5;z=3t-2	x=4t-1;y=4t+6;z=t-4

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки а₁ и а₂:

	а1	а2
19	(1;-2;1)	(3;1;1)
20	(1;-2;1)	(0;6;5)
21	(3;1;2)	(0;2;5)
22	(0;1;2)	(5;2;1)
23	(1;7;3)	(0;2;1)
24	(1;0;2)	(5;1;4)
25	(3;5;1)	(2;3;1)

Задание 11

Найти проекцию точки А на плоскости :

	А	
1	(1;3;1)	x+2y+2z-30=0
2	(3;1;-1)	3x+y+z-20=0
3	(5;2;-1)	2x-y+3z+23=0
4	(4;-3;1)	x-2y-z-15=0
5	(1;-1;0)	5x-6y+2z-76=0

Найти точку, симметричную точке А относительно плоскости а:

	А	а
6	(0;0;0;)	х-2у+4z-21=0
7	(1;5;2)	2х-у-z+11=0
8	(1;-3;-4)	Зх-у-2z=0
9	(5;2;-1)	2х-у+3z+23=0
10	(3;-4;-6)	9х-7у-31z-108=0

Найти точку, симметричную точке А относительно прямой ℓ:

	А	ℓ
11	(2;1;0)
12	(4;3;10)
13	(1;-1;2)
14	(3;2;0)
15	(2;-1;5)
16	(0;0;0;)

Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскостиа с прямыми ℓ₁ и ℓ₂:

	А	ℓ1	ℓ2
17	2x+y-3z=0
18	3x-2y+z=0
19	6x+3y-41=0
20	3x-y-2z+5=0
21	2x+3y+z-1=0

Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости и проходящей через точку пересечения плоскости  с прямой ℓ, перпендикулярно вектору а:

		ℓ	_ а
22	6x+3y-z-41=0		{1;2;1}
23	x+2y=0		{3;-1;2}
24	x+2y=0		{5;-1;2}
25	3x-y-2z+5=0		{0;3;5}

Задание 12

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые ℓ₁ и ℓ₂:

	ℓ1	ℓ2
1
2
3	x=2t+1;y=-t;z=t+1
4
5

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через прямую ℓ₁, параллельно прямой ℓ₂:

	ℓ1	ℓ2
6
7
8
9
10	x=3t-1;y=-2t-3;z=-t+2	x=2t+2;y=3t-1;z=-5t+1

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно прямымℓ₁ и ℓ₂:

	ℓ1	ℓ2	М
11			(-2;0;0)
12			(6;1;1)
13			(1;2;1)
14			(1;2;3)
15			(0;0;2)

Составить общее уравнение плоскости, проходящей через пересекающиеся прямые ℓ₁ и ℓ₂:

	ℓ1	ℓ2
16
17	x=z-2;y=2z+1
18		x=t+5;y=-4t-1;z=t-4
19	x=t+1;y=-2;z=-t+1	x=2t;y=2t-2;z=-3t+2
20		x=3t+7;y=2t+2;z=-2t+1
21
22	x=2t-3;y=3t-2;z=-4t+6	x=t+5;y=-4t-1;z=t-4
23
24	x=2t+1;y=3t-2;z=-6t+1
25