Поверхностные интегралы Определение поверхностного интеграла I рода

Пусть в точках поверхности S гладкой ( если в каждой её точке  касательная плоскость и при переходе от точке к точке положение этой касательной плоскости меняется непрерывно ) определена ограниченная функция f(M) = f (x,y,z)

Разобьём поверхность S произвольно на n частей с площадями S₁ , S₂ . . . S_n . Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку M_i (_i , _i , _i), составим сумму

Сумма называется интегральной суммой для функции f(M) по поверхности S . Пусть диаметры площадей S_i , d₁ . . . d_n , наибольший из всех диаметров обозначим через d .

Определение

Если интегральная сумма при d0 имеет предел , равный J ,то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается символом

Функция f(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности S , S- область интегрирования .

Определение аналогично определению двойного интеграла , поэтому свойства двойных интегралов и условия  переносятся на поверхностные интегралы .

Поверхностный интеграл не зависит от выбора стороны поверхности .

Если f(x,y,z) > 0 и её рассматривать как поверхностную плотность массы материальной поверхности , то определяет массу этой поверхности .

Вычисления поверхностных интегралов I рода

Производится сведением поверхностного интеграла к двойному .

Пусть поверхность S задана уравнением

z = Z (x,y) , где z вместе со своими производными Z¹_x (x,y) и Z¹_у (x,y) непрерывны в замкнутой области G , которая является проекцией S на плоскость хОу .

Пусть функция y = f(x,y,z) непрерывна на поверхности S и ,следовательно, интегрируема по этой поверхности .

Разобъём поверхность S произвольно на n частей и спроектируем это разбиение на плоскость ОХУ. Получим соответственно разбиения областей G на G₁ ,G₂ , . . . ,G_n . Площадь S_i каждой части поверхности может быть представлена в виде

.

Применяя к двойному интегралу теорему о среднем , можно получить , что :

,

где z = z(x,y). Переходя к пределу d0 .

.

Пример 6.8.10.

Вычислить интеграл , где S- часть параболоида вращения Z = 1 – x² – y² , отсечённого z = 0 .

Решение .

Поверхность Z = 1 – x² – y² проектируется на плоскость ОХУ в область G , ограниченную окружностью х² + у² = 1 .

Z¹_x = -2x ,Z¹_y = -2y .

.

Поверхностные интегралы II рода

Возьмём на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведём через неё нормаль к поверхности (M) .

Рассмотрим на поверхности S какой-либо замкнутый контур , проходящий через т.М . Будем перемещать точку М по замкнутому контуру вместе с вектором так , чтобы он 1) всё время оставался нормальным к S , 2) и его направление менялось при этом перемещении непрерывно .

Если обход по любому замкнутому контуру , лежащему на поверхности S и не пересекающему её границы , при возвращении в исходную точку не меняет направления нормали к поверхности , то поверхность называется двусторонней .

Если же на поверхности S ,  замкнутый контур , при обходе которого направление нормали меняется после возвращения в исходную точку на противоположное , то поверхность называется односторонней .

Будем рассматривать только двусторонние поверхности .

Двустороннюю поверхность называют ориентируемой , одностороннюю – неориентируемой .

Пусть S – ориентируемая поверхность , ограниченная контуром L, не имеющим точек самопересечения . Будем считать положительное направление обхода то , при движении по которому наблюдатель , расположенный так , что направление нормали совпадает с направлением от ног к голове ,оставляет поверхность слева от себя .

Противоположное направление обхода считается отрицательным.

Перейдём к определению поверхностного интеграла II рода .

Пусть S – гладкая поверхность Z = f(x,y) и R(x,y,z) – ограниченная функция , определённая в точках поверхности S .

Выберем одну из сторон поверхности . Если нормали составляют острые углы с осью Oz , то будем говорить , что выбрана верхняя сторона поверхности Z = f(x,y) , если тупые , то нижняя .

Разобьём S на произвольные n части .

G_i- проекцииi –части поверхности на ОХУ .

Выбрав на каждой частичной поверхности любую т.М_i (_i , _i, _i), составим

где S_i – площадь G_i , взятая со знаком (+) , если выбрана верхняя сторона поверхности S .

Уравнение – интегральная сумма для функции R(M) .

Обозначим через dмаксимальный из диаметров частей поверхности S .

Определение

Если интегральная сумма при d0 имеет предел , равный J , то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции R(x,y,z) по выбранной стороне поверхности S и обозначается одним из следующих символов :

.

R(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности S .

Сумму

называют общим поверхностным интегралом II рода и обозначают символом

,

который обладает теми же свойствами , что и поверхностный интеграл I рода . Отличается от него только тем , что при изменении стороны поверхности он меняет знак .