Тогда .

Для составления интегральной суммы для функции f(x,y) в качестве точек ( _i ,_i ) областей D_i выбираем точки , лежащие на средних окружностях радиуса _i .

Согласно формулам для произвольно выбранной т. ( _i ,_i ) будем иметь

(взяли , т.к. точка находится на окружности радиуса ).

Угол _i – между полярной осью и лучом , проходящим через т. ( _i ,_i )

Тогда

В пределе получим :

Т.к. слева в равенстве стоит интегральная сумма для непрерывной функции f (x,y) , а справа – интегральная сумма также для непрерывной функции f(cos, sin) , то пределы этих сумм существуют и равны соответствующим двойным интегралам .

Подставив в сумму получим

.

Его можно сформулировать так :

Правило преобразования .

Для того чтобы преобразовать двойной интеграл в прямоугольных координатах в интеграл в полярных координатах , нужно :

1. в подынтегральной функции f(x,y) заменить х и у соответственно через cos и sin;

2. элемент площади dxdy в прямоугольных координатах заменить произведением dd( которое называют элементом площади в полярных координатах ).

Сначала отмечают крайние значения  и  полярного угла  .

Угол  соответствует точке А , угол  – точке В контура . точки А и В разбивают контур ( границу области D) на 2 части : АСВ и ВЕА, уравнения которых соответственно обозначают через ₁ = ₁(  ) и ₂ = ₂(  ) , где ₁(  ) и ₂(  ) – непрерывные функции , заданные на сегменте [,] . Следовательно, область D ограничена 1) линиями

₁ = ₁(  ) – уравнение АСВ,

₂ = ₂(  ) – уравнение ВЕА и

2) двумя лучами , образующими с полярной осью углы  и  ; причём < ; ₁(  ) и ₂(  ) – непрерывные функции .

Следовательно , пределы внешнего интеграла будут  и  . Найдём пределы внутреннего интеграла .Для этого фиксируем произвольное значение угла  между  и  , затем из полюса О под углом  проводим луч ОЕ.

Точка входа этого луча в области D лежит на линии ₁ = ₁(  ) , а точка выхода его из области D лежит на линии ₂ = ₂(  ) .

Уравнения этих линий и дают соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла :

. (

2

Пример 6.8.7.

Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в следующем интеграле :

.

Решение

.

Пример6.8.8.Вычислить двойной интеграл ,

где область D есть кольцо , заключенное между окружностями х² + у² = е² и х² + у² = 1 .

y

x

Пример 6.8.9.Вычислить , где (D) область , ограниченная полярной осью и кривой с дополнительным условием : полярный угол .

Решение .

Кривая - лемниската . Определим , как изменяется угол  в области D . С увеличением угла  ( при условии </2) полярный радиус  уменьшается . При некотором значении  он становится равным нулю . Найдём это значение  .

Подставим в уравнение лемнискаты  = 0 и получим уравнение для определения  :

( учтено условие , что </2 ).

Таким образом , в области D полярный угол изменяется от 0 до /4 .

Переменная  изменяется в области D от = 0 до , по формуле

.