Замена переменных в двойном интеграле

Пусть в области D существует .

Перейдём к новым переменным U иV по формулам

где G – область определений этих функций .

Формулы называются формулами преобразования координат .

(u,v из определяется единственным образом)

Пусть эти функции имеют непрерывные частные производные в области G .

Пример6.8.6. ,

где D – параллелограмм , ограниченный прямыми х + у = 1 , х + у =2 , 2х – у = 1 , 2х – у = 3 .

Решение Непосредственно вычисление затруднительно, т.к. область D надо разбить на 3 области.

Сделаем замену переменных :

x + y = u ,2x – y = v .

Рассмотрим систему координат uov :

-

Следовательно ,

.

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат

Во многих задачах , требующих применения двойных интегралов, прямоугольная система координат не является наилучшей.

Поэтому следует уметь переходить от одной системы координат к другой , более удобной , например , полярной .

Если 1) подынтегральная функция или 2) уравнение границы области интегрирования В содержит сумму , то в большинстве случаев упрощение интеграла достигается преобразованием его к полярным координатам , т.к. в полярных координатахх.

.

Рассмотрим , как двойной интеграл в прямоугольных координатах преобразовать в двойной интеграл в полярных координатах.

Пусть имеем двойной интеграл

,

где функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области D .

Будем считать , что область D такова , что любая прямая , проходящая через начало координат , пересекает границу области более , чем в 2-х точках.

Преобразуем интеграл от прямоугольных координат к полярным координатам  и  .

При выводе формулы преобразования мы воспользуемся , хотя и не вполне строгим ,но простым и наглядным геометрическим методом рассуждений .

Отнесём область D к полярным координатам , приняв ось ОХ за полярную ось , а начало координат за полюс .

В этом случае , как легко установить , прямоугольные координаты точки связаны с полярными координатами следующим соотношениями :

Для того , чтобы получить все точки плоскости ОХУ , достаточно , очевидно, ограничиться знчениями  0 и 0  2.

По определению двойной интеграл

.

Поскольку этот предел не зависит от способа разбиения области D на частичные области , то мы можем разбить область D по своему усмотрению.

Рассмотрим такое дробление области D , чтобы легче было осуществить преобразование двойного интеграла к полярным координатам .

Разобъём область D на частичные области с помощью 1) концентрических окружностей с центром в полюсе и 2) лучей , исходящих из полюса О.

Пусть этому разбиению области D отвечает интегральная сумма

( Площади частичных областей D_i( i =1,2, . . . , n) обозначим через S_i ).

Частичная область D_i представляет собой криволинейную фигуру, ограниченную двумя дугами концентрических окружностей радиусов _i и _i+1 и двумя отрезками лучей .

.

Обозначим ( Средний радиус между _i и _i+ _i).