Определение двойного интеграла

Пусть дана функция z = f(x,y) , определённая и непрерывная в некоторой замкнутой области D , граница Г которой простая замкнутая линия ( такую замкнутую область называют простой областью ).

Разобьём область D на n частичных (элементарных) областей (простых ) D_i ( i=1,2,... ,n) ( без общих внутренних точек ) с помощью некоторой сети кривых .

Площади этих областей обозначим соответственно через S₁, S₂, . . . , S_n .В пределах каждой частичной области D_i выберем произвольным

образом по точке (_i ;_i) и составим сумму :

.

Всякую такую сумму называют интегральной суммой для функции f(x,y) соответственной области D .

Меняя сеть разбиения и способ выбора точек в частичных областях , мы можем составить бесконечно много интегральных сумм , различных между собой.

Будем теперь неограниченно увеличивать число n разбиений области D на частичные области D_i , но так , чтобы все d(D_i) взятых областей стремились к нулю при этом .

Может случится , что тогда интегральная сумма  будет иметь предел , не зависящий ни от способа разбиения области D на частные области D_i ; ни от способа выбора точек (_i ; _i) в этих областях.

Этот предел I записывают следующим образом :

. (6.7.7)

Определение 1

Если при d(D_i)  0 интегральная сумма  имеет предел , то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x,y) , взятым по области D , и обозначается

.

Функция f(x ,y) при этом называется интегрируемой в области D .

Следовательно , по определению

.

Символ dS называется элементом площади .

Возвращаясь к рассмотренной выше задаче , можно , исходя из приведённого определения , сказать , что в случае интегрируемости в D функции f(x,y) объём цилиндрического тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D :

. (6.7.8)

Эта формула показывает , что двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции геометрически выражает собой объём цилиндрического тела .

Элемент площади dS = dxdy , т.е. равняется произведению дифференциалов независимых переменных .

Доказано , если разбивать область D прямыми , параллельными осям ОХ и ОУ , то частичными будут служить прямоугольники .

Площадь каждой частичной области S будет равна произведению ху.

Поэтому элемент площади dS = dxdy .

Таким образом  является прямым обобщением понятия простого определения  на случай функции двух переменных .

Теорема существования двойного интеграла

Теорема

Интегральная сумма  , соответствующая 1) конечной области D и 2)непрерывной в этой области функции f(x,y) , стремится к пределу при d(D_i)0. Этот предел не зависит 1) ни от способа разбиения области D , 2) ни от выбора точек (_i ; _i) в этих областях .

Теорему рассматриваем без доказательства .

Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает рядом простейших свойств , вполне аналогичных соответствующим свойствам простого интеграла .

Доказательство основных свойств двойного интеграла ( подобно доказательству свойств простого интеграла ) основано на его определении как предела интегральной суммы .

1. Двойной интеграл по области D от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых по той же области .

Так для двух функций это свойство запишется следующим образом :

3.Если область D разбита на 2 области D₁ и D_II без общих внутренних точек , а функция f(x,y) непрерывна во всех точках области D , то :

4. Если f(x,y) и (x,y) – интегрируемые в области D функции , то из неравенства

f(x,y) (x,y) , ( x,y)D

следует неравенство

(другими словами , неравенство можно почленно интегрировать !!)

5 . Если функция f(x,y) интегрируема в области D , то и функция f(x,y) интегрируема в этой области и

  f(x,y)dS.

-f(x,y) f(x,y)f(x,y) ,

получим

- .

Доказано , если -а  х  а , то х  а .