Вычисление работы переменной силы
Пусть тело движется под действием некоторой переменной силы F по прямой, причем направление силы совпадает с направлением движения, а работа А, произведенная силой F при перемещении тела из т.х=а по прямой ОХ в точку х=b той же прямой, может быть выражена (в случае когда F=F(x) есть непрерывная функции на [a; b]) с помощью определенного интеграла следующим образом:
. (6.7.5)
Пример 6.7.11.Рессора прогибается под нагрузкой 1,5 т на 1 см. Какую работу надо затратить для деформации рессора на 3 см? (Сила деформации пропорциональна величине деформации).
Решение: обозначим через х – величину деформации, т.к. F=kx, где k - коэффициент пропорциональности (коэффициент жесткости).
Известно, что при
х=0,01 м F=1,500
(Н),
то
,
следовательно,
.
По формуле (1) работа
.
Вычисление центра тяжести плоской линии
Пусть на плоскости
дана дуга АВ материальной линии, уравнение
которой y=F(x),
где F(x) -
непрерывная на отрезке [a;
b] функция, имеющая
непрерывную производную
Координаты центра тяжести будут:
; 
,
где s – длина дуги;
- дифференциал длины дуги (формула
получена ранее).
Статические моменты дуги АВ:
; 
.
Если дуга АВ расположена симметрично относительно некоторой прямой, то ее центр тяжести непременно лежит на этой прямой.
Пример 6.7.12.Найти центр тяжести дуги, составляющей четверть окружности радиуса В.
Выбираем систему
координат, как указано на рисунке.
Уравнение окружности:
,
откуда
;
;
.
Длина
четверти окружности
,
т.к. дуга АВ симметрична относительно
биссектрисы.
Если координаты угла y=x, то х=у, найдем у:
.
Ответ:
.
Центр тяжести плоской фигуры
Рассмотрим плоскую
материальную фигуру, ограниченную
прямыми х=а, x=b
(a<b) и
кривыми y=
,
,
где функции
и
непрерывны на
и
:
,
,
где
(площадь фигуры). Если фигура ограничена
осью ОХ, прямыми х=а, х=b и
кривой y=f(x),
где f(x)
– неотрицательная непрерывная на
отрезках [a; b]
функция, то полученные формулы будут
проще:
; 
.
Если фигура располагается симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести ее лежит на этой прямой.
Пример 6.7.13.Найти
координаты центра тяжести фигуры,
ограниченной кривой
и осями координат.
Т.к. данная фигура
симметрична относительно биссектрисы
I координатам угла, то ее
центр тяжести лежит на этой прямой у=х,
и следовательно,
;
Ответ:
6.8. Криволинейные, кратные и поверхностные интегралы Объём цилиндрического тела. Двойные интегралы
Подобно тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определённого интеграла , так и задача о вычислении объёма цилиндрического тела приводит к новому понятию – понятию двойного (определённого )интеграла ( эта задача даёт геометрическое толкование двойного интеграла ).
Рассмотрим цилиндрическое тело , ограниченное (рис 1.1) :
z = f(x,y)
y
х
обл D -основание цилиндрич. тела
Рис. 1.1
сверху поверхностью z = f (x,y) , где f(x,y) – непрерывная неотрицательная в области D функция;
с боков – некоторой цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ ;
снизу – частью плоскости ОХУ – замкнутой областью D .
Вычислим объём V этого тела .
Разобьём основание цилиндрического тела областью D кривых на n замкнутых ограниченных областей Di (i= 1,2, ...,n) , имеющих площади Si (i= 1,2, ...,n) .
В каждой из областей Di выберем по точке ( i ; i ) и составим произведения вида Vi = f(i ; i) Si (i = 1,2, ...,n) .
Каждое из таких произведений геометрически представляет собой объём прямого цилиндра с высотой hi = f(i ;i) и основанием Di ,а сумма
Vn = Vi = f(i ; i) Si – объём " ступенчатого тела ", составленного из всех таких цилиндров .
Диаметром области называется наибольшая её хорда . Или : диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура области .
Если теперь стремить число разбиений n к бесконечности , причём так , чтобы диаметры всех элементарных областей Di стремились к нулю , то Vn , как представляется очевидным , будет иметь предел , равный объёму данного цилиндрического тела :
(6.7.6)
Задача разыскания предела таких сумм и приводит к понятию двойного интеграла .