6.3. Введение в математический анализ
Пределы функций
При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.
1 Функция f(x) определена в предельной точке x=a. Тогда
.
(6.3.1)
2 Функция f(x)
в предельной точке х=а не определена
или же вычисляется предел функции при
.
Тогда вычисление предела требует в
каждом случае индивидуального подхода.
В одних случаях (наиболее простых) вопрос
сводится непосредственно к применению
теорем о свойствах бесконечно больших
и бесконечно малых функций и связи между
ними. Более сложными случаями нахождения
предела являются такие, когда функция
f(x) в точке
х=а или при
представляет собой неопределенность
.
Приведем
основные теоремы, на которых основано
вычисление пределов.
1 Если существуют
и
,
то
а)
;
б)
;
Частные
случаи:
в)
.
2
Если в некоторой окрестности точки х=а
(кроме, быть может, точки а) выполнено
условие f(x)=q(x)
и если предел одной из этих функций в
точке а существует, то
.
3 Если существует
U(х)
и f(х) – элементарная
функция, то
.
Например
:
,
.
4
Первый замечательный предел:
.
(6.3.2)
5 Второй
замечательный предел:
.
(6.3.3)
Также при вычислении пределов
следует знать ряд эквивалентных
бесконечно малых функций:
при
Примеры 6.3.1.
Вычислите пределы:
1)
.
Функция f(x) в предельной точке х=2 не определена; так как числитель и знаменатель дроби обращается в нуль, то имеем неопределенность вида 0/0.
Преобразуем дробь, и по формуле (1) получим
.
2)
.
В
этом случае также получается
неопределенность вида 0/0. Преобразование
функции сводится к уничтожению
иррациональности в числителе: для этого
умножим числитель и знаменатель на
выражение
и затем сократим дробь на
.
Отсюда
.
3)
.
Здесь
имеет место неопределенность вида
.
Разделим числитель и знаменатель на
(наивысшую степень х в данной дроби).
Тогда
.
4)
.
Здесь
получается неопределенность вида
.
Представим функцию в виде дроби, которая
в точке х=0 дает неопределенность вида
0/0, после чего преобразуем её так, чтобы
можно было воспользоваться первым
замечательным пределом:
5)
Функция
при x->
представляет собой степень, основание
которой стремится к единице, а показатель
– к бесконечности, неопределенность
вида
.
Преобразуем функцию таким образом, чтобы использовать второй замечательный предел:
=
=
= =
=
=
=
=
=
6)
.
Используя второй замечательный предел, находим
=
=
=
Дифференциальные исчисления функций одной переменной
Основные формулы:
Производная от функции у=f(х) по аргументу х
или
(6.3.4)
Формулы дифференцирования основных функций:
-
1.(хm)'=mxm–1.
11.(ctg x)'=–cosec2x.
2.
12. (arcsin x)'=
3.
13.(arccos x)'=
4. (ex)'=ех.
14. (arctg x)'=
5. (аx)'=ахln a.
15. (arcсtg x)'= –
6.
16.(sh x)'=
=ch
x.7.
17. (ch x)'=
=sh
x.8. (sin x)'=cos x.
18. (th x)'=
9. (cos x)'=–sin x.
19. (cthx)'=
10. (tgx)'=sec2x.
Основные правила дифференцирования
Пусть С–постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие производные. Тогда:
1) С'=0; 2) х'=1; 3) (u'±v')= u'±v'; 4) (Сu)'=Сu'; 5) (uv)'=u'v+ uv';
6)
;
7) если y=f(x),
u=u(x),
т.е. у=f[u(x)],
то
у'х= у'u∙ u'х.
Дифференцирование функций заданных параметрически: х=φ (t), y=ψ(t).
(6.3.5.)
Уравнение касательной к кривой у=f(х) в точке М0(х0;у0): у–y0=y'0(х–х0).
Уравнение нормали:
у–y0=
(х–х0).
Угол между двумя кривыми у=f1(х) и у=f2(х) в точке их пересечения М0(х0;у0)
(6.3.6.)
Производная n-го
порядка от функции у=f(x):
у(n)=(у(n–1))',
обозначение: у(n),
f(n)
(x),
.
Дифференциалы высших порядков: dy=y'dx.
Основные свойства дифференциала:
dC=0, где С=const.
d(Cu)=Cdu.
d(u±v)=du±dv.
d(uv)=udv+vdu.
df(u)=f'(u)du.
Дифференциал n-го порядка: dny=d(dn–1y).
Теорема Лагранжа
.
(6.3.7.)
Теорема Коши
.
(6.3.8.)
Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0, ∞/∞:
(6.3.9)
Пример 6.3.2. у=(sinx)tgx.
Решение.
Имеем ln у=tgx∙lnsinx, откуда
Пример
6.3.3.
Решение.
Здесь заданную функцию следует предварительно прологарифмировать:
ln y=3 ln
(2x-1) +
ln
(3x+2)-2ln(5x+4) -
ln(1-x);
Пример 6.3.4.Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции у=(2х–3)3.
Решение.
dy=3(2x–3)2∙2dx=6(2x–3)2dx,
d2y=12(2x–3)2∙2dx2=24(2x–3)dx2,
d3y=24∙2dx3=48dx3.