9. Вывод формулы Лейбница

(uv)^(n) = Σ[n,k=0] C^k.n *u^(n-k) * v^(k)

Док-во

Для n=1,2… -врено. Предположим верно для n. Докажем для n+1

(uv)^(n+1)= [(uv)^(n)]`= [u^(n)+ C^1.n u^(n-1) v` + C^2.n u(n-2) v`` + … C^k.n u^(n-k) v^(k) ]=

=u^(n+1) v + u^(n)v` + C^1.n u^(n) v` + C^1.n u^(n-1) v`` + C^2.n u^(n-1) v`` + C^2.n u^(n-2) v``` + … =

=u^(n+1) v + C^1.(n+1) u^(n) v` + C^2.(n+1) u^(n-1) v`` + ... =

=Σ[n+1,k=0] C^k.(n+1) *u^(n-k+1) * v^(k) ч.т.д.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10 Инвариантность 1ого и неинвариантность 2ого дифференциалов.

f(x),f’(x),df=f’(x)dx,f’’(x); d^2f=f''(x)dx^2

1ый и 2ой дифференциалы.

y=y(x(t)), y’.t=y’.x*x’.t|* dt

y’.tdt=y’.x*x’.t*dt, dy=y’.t*dt=y’.x*dx-инвариантность 1ого дифференец

y’’.tt=(y’.t)’.t=(y’.x)’.t*x’.t+y’.x(x’.t)’.t=y’’.tt*x’.t*x’.t+y’.x*x’’.tt

y’’.t^2=y’’.x^2(x’.t)^2+y’.x*x’’.t^2|*dt^2

y’’.t^2*dt^2=y’’.x^2*dx^2+y’/x*d^2x-инвариантность 2ого дифференциала

------------------------------------------------------------------------------------------------------

11. Теорема ферма и Ролля

Опр. x=A является точкой локального max функции y=f(x) если ∃.σ>0 ∀.x:0<|x-a|< σ f(x) ≤f(a) (min, f(x) ≥f(a))

Теорема Ферма: Если a-точка max функции f(x) и ∃.f `(a), то f `(a)=0.

Док-во: f `(a+0)= lim[△x→+0] (f(a+△x) – f(a))/△x ≤ 0 f `(a-0)= lim[△x→-0] (f(a+△x) – f(a))/△x ≥ 0

f `(a) = f `(a-0) = f `(a+0), но f `(a+0) ≤ 0, a f `(a-0) ≥0 ⇒ f `(a)= 0 Аналогично для min ч.т.д

Теорема Ролля

Пусть f(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), f(a)=f(b). Тогда ∃.c∈(a,b) f `(c)=0

Док-во: По 2-й теореме В. f(x) достигает max и min. Пусть f(x.1)=max f(x) x∈[a,b]

f(x.2) = min f(x), x∈[a,b]. 1 случай) a< x.1 < b то по теореме Ферма f `(x.1) = 0.

Выберем c=x.1. 2 случай) a<x.2<b, f(x.2)=0, выберем c=x.2.

3 случай) x.1=a x.2=b или x.2=a x.1=b ⇒ f(a)=f(b)

⇒f(x)=const , c∈(a,b), f `(x)=0 ч.т.д.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

12. Формулы конечных приращений Лагранжа и Коши.

Теорема Лагранжа:пусть f(x) непр на [a,b]и дифференц на (a,b)

тогда ∃.с∈(a,b) (f(b)-f(a))/(b-a)=f’(0)

Док-во: y=f(a)+((f(b)-f(a))*(x-a))/(b-a)

Рассмотрим вспомог ф-цию:

F(x)=f(x)-f(a)- ((f(b)-f(a))*(x-a))/(b-a)

F(a)=f(a)-f(a))+((f(b)-f(a))*(b-a))/(a-a)=0

F(b)=f(b)-f(a))+((f(b)-f(a))*(b-a))/(b-a)=0

⇒потеоремеРолля ∃.с∈(a,b) f’(c)=0

F’(x)=f’(x)-((f(b)-f(a))/(b-a)

F’(c)=f’(c)-((f(b)-f(a))/(b-a)=0 ч.т.д.

Теорема Коши:пустьf(x) и g(x)непрерывна на [a,b] и дифференц на (a,b), причем g’(x)≠0

Тогда ∃.с∈(a,b) (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)

Док-во: Рассмотрим вспомогательную ф-циюF(x)=(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))-(g(b)-g(a))(f(x)-f(a))

F(a)=0-0=0 иF(b)=0

⇒потеоремеРолля∃.с∈(a,b) F’(c)=0

F’(c)=(f(b)-f(a))g’(c)-(g(b)-g(a))f’(c)=0

(f(b)-f(a))g’(c)=(g(b)-g(a))f’(0)

Покажем, что g(b)≠g(a)

Ппg(b)=g(a), Тогда по теореме Ролля∃.х∈(a,b)g’(x)=0 (?!)

⇒(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)=g’(c)

Ч.т.д.