1. Первая и вторая теорема Вейерштрасса

1.1Непрерывная на отрезке функция ограничена.

ПП F(x) – неограниченна сверху

F(x) [a,b] – ограничена сверху

∃.M ∀.x∈[a,b] f(x) ≤ M

∀.M ∃. x∈[a,b] f(x) > M

M.1 = 1 f(x.1)>1 || M.2 =2 f(x.2)>2 || M.n = n f(x.n)>n

{X.n} ∈[a,b] По теореме Больцано-Вейерштрасса

∃.x.n.k→ c ∈[a,b] (из всяк огранич посед можн выдел сход посл)

Lim[k→∞] f(X.n.k) = + ∞ т.к. f(X.n.k) > n.k

Lim[k→∞] f(X.n.k) = f(c) т.к. f(x) непрерыв в точке x=c (?!)

Аналогично для огранич снизу ч.т.д.

1.2 Непрерывная на отрезке функция достигает макс и мин значения

Пусть m=inf(x) x∈[a,b]

M=sup f(x) x∈[a,b]

По опред sup f(x) : 1) ∀.x∈[a,b] f(x) ≤ M 2) ∀.ℇ>0 ∃.x∈[a,b] f(x)>M- ℇ

ℇ.1 = 1 f(x1)>M-1 || ℇ.2 = ½ f(x.2) > M – ½ || ℇ.n = 1/n f(x.n)>M-1/n

След-но, По теореме Б-В : ∃.Х.n.k->c∈[a,b]

След-но, M-1/n < f(X.n.k) ≤ M

След-но, f(c) = M Аналогично для inf f(x) ч.т.д

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Первая и вторая теоремы Коши.

1)Пусть f(x) непрерывна на [a,b], f(a)<0, f(b)>0. Тогда∃.d∈(a,b) f(d)=0

Док-во: Пусть с=а+в/2 – середина отрезка.Еслиf(c)=0, то d=c. Если f(c)<0,

то полагаем, что a1=a, b1=c; если f(c)<0, то a1=c, b1=b. f(a1)<0,f(b1)>0, c=a1+b1/2,f(c)=0⇒d=c.

f(c)>0, то а2=а1,b2=c;f(c)<0,то а2=с,b2=b1.c=a2+b2/2

Получим систему влож. Отрезков: [a,b]>[a1,b1]>…>[a.n,b.n]

b.n-a.n=(b-a/2^n)→0,по лемме о влож. Отрезках([a,b]>[a1,b1]>…>[a.n,b.n],

эти отрезки имеют общую точку.Если ∀.ℇ>0 ∃.nb.n-a.n<ℇ, то точка единств)

∃.d∈[a.n,b.n] ∀.n f(a.n)<0 и f(b.n)>0 a.n→d,b.n→d при n→∞(0<=d-a.n<=b.n-a.n)⇒

lim[n→∞]f(a.n)=f(d)<=0,lim[n→∞]f(b.n)=f(d)=>. Т.к. f(x) непрерывна, то f(d)=0 ч.т.д.

2)Пусть f(x) непрерывна на [a,b];f(a)=c,f(b)=a,тогда ∀.y∈(c,d) ∃.x∈(a,b) f(x0)=y0

Док-во: пусть c<d. Рассмотрим вспом функцию g(x)=f(x)-y0, где g(x)- непрерывна.

g(a)=c-y0<0; g(b)=d-y0 (т.к. c<y0<d)

По теореме 1) ∃.x0:y(x0)=0 f(x0)=y0Еслиc>d, тоy0∈(d,c), g(a)>0, g(b)<0, g(x0)=0 f(x0)=y0

Если с=d, то (c,d)=(c,c)=∅ч.т.д. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Теорема об обратной функции.

Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и строго монотонно возрастает или убывает.

Тогда на отрезке [c,d] , где c=f(a), существует обратная функция x=g(y) непрерыв возраст или убыв.

Док-во. Пусть f(x) возраст. Тогда по 2 теорем Коши ∀.y.0 ∈ (c,d) ∃.x.0 ∈ (a,b)

F(x.0)=y.0, причем x.0 – единств точка, т.к. f(x) строго монотон возраст. Тогда получ, что g(y.0)=x.0 g(c)=a, g(d)=b.

Покажем, что x=g(y) строг мнотон возраст. Пусть y.1 < y.2,y.1=f(x.1),y.2=f(x.2), т.к. f(x) строго возрастает, то x1<x2 (ПП x.1>x.2 ⇒ y.1>=y.2 (?!)).

Покажем, что x=g(y) непрерыв. Пусть y∈(c,d), x.0 = g(y.0). Надо д-ть ∀.ℇ>0 ∃. σ >0 ∀.y: |y-y.0| < σ ; |g(y) – g(y.0)|< σ

Пусть y.1=f(x.0 - ℇ), y.2 = f(x.0+ ℇ) Выберем σ=min(y.0-y.1, y.2-y.0) тогда при y- y.0< σ |g(y)-g(y.0)|< ℇ ч.т.д.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------