4. Списки смежности.

    Представляет собой структуру данных, которая для каждой вершины графа хранит список смежных с ней вершин. Список представляет собой массив указателей, i-ый элемент которого содержит указатель на список вершин, смежных с i-ой вершиной.

    Список смежности более эффективен по сравнению с матрицей смежности, так как исключает хранение нулевых элементов.

Например (рис.6):

1:	2,3
2:	1,4,5
3:	1,2,5
4:	1,2,3,5
5:	1,4

Матрицей инцидентности (инциденций) неориентированного графа называется матрица , для которой , если вершина инцидентна ребру , в противном случае .

Матрицей инцидентности (инциденций) ориентированного графа называется матрица , для которой , если вершина является началом дуги , , если является концом дуги , в остальных случаях .

Части графа.

    Пусть дан граф G=(V, Е).

    Граф G’=(V’, Е’) называется его подграфом, если он получен из исходного путем удалением части вершин вместе с инцидентными им ребрами.

Например, если из графа представленного на рис.6 удалить вершины 3 и 5, то получим граф

    Всего из одного графа можно получить 2ⁿ подграфов.

    Исходный граф по отношению к подграфу называется надграфом.

    Маршрутом между вершинами v и w в графе G=(V, Е) называется  последовательность ребер вида (v,x₁), (x₁,x₂), (x₂,x₃),…, (x_n-1,x_n), (x_n,w).

Например,

  Рис. 7                 Рис.8.

  (1,2), (2,3)-маршрут из первой вершины в третью.

    Маршрут, у которого начальная вершина совпадает с конечной называется циклом. Например, на рис.8 (1,2), (2,3), (3,4), (4,1).

    Вершина v  называется достижимой из вершины w, если существует маршрут из w в v. Вершины v и w взаимнодостижимы если существует маршрут из v  в w  и маршрут из w в v. Для неориентированных графов достижимость вершин влечет взаимодостижимость.

    Вершина графа для которой не существует достижимых вершин и которая не достижима из других вершин называется изолированной.

Очевидно, что вершина изолирована тогда и только тогда когда у нее нет инцедентных ребер.

Пример.

 Вершина 5 – изолированная вершина.

Методы обхода графа.

    Под обходом графа понимается перебор его вершин в определенном порядке, связанный с проходом по некоторым ребрам.

    Существует много алгоритмов на графах, в основе которых лежит системати­ческий перебор вершин графа, такой, что каждая вершина просматривается в точности один раз. Поэтому такой задачей является нахождение хороших ме­тодов поиска в графе. Вообще говоря, метод поиска «хорош», если

• (а) он позволяет алгоритму решения интересующее нас задачи легко «по­грузиться» в этот метод и

• (б) каждое ребро графа анализируется не более одного раза (или, что существенно не меняет ситуации, число раз, ограниченное константой).

    Опишем теперь такой метод поиска и неориентированном графе, который стал одной из основных методик проектировании графовых алгоритмов. Этот метод называется поиском в глубину.