Список рекомендуемой литературы

Основная

1. Колемаев В.А. Математические методы и модели исследования операций. М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2009

2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математические методы и модели для магистрантов экономики: Учеб. пособие. СПб.: Питер, 2006. – 496с.

3. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование операций в экономике. М.: ЮРАЙТ, 2010.

Дополнительная литература

4. Мак Кинси. Введение в теорию игр. М., 1960.

5. Берж К. Общая теория игр нескольких лиц. М., 1961.

6. Матричные игры. М., 1963.

7. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М., 1970.

8. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М., 1984.

9. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учебное пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 368с.

10. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. –М.: Высшая школа, 2008. – 208 с.

11. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учебное пособие для студентов вузов / А. М. Дубров, Б. А. Лагоша, Е. Ю. Хрусталев, Т. П. Барановская; Под ред. Б. А. Лагоши. – 2-е изд. М.: Финансы и статистика, 2003. –222 с.

12. Моделирование экономических процессов: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / Под ред. М.В. Грачёвой, Л.Н. Фадеевой, Ю.И. Черемных. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. –351 с.

13. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. –2‑е изд. М.: Финансы и статистика, 2005. –616 с.

14. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. –2‑е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. –287 с.

15. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. –2‑е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. –304 с.

16. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие для студ. экон. спец. вузов. / Под общ. ред. А.В. Кузнецова; БГЭУ. Минск, 2010. 412 с.

Приложение

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

1. Моделирование задачи оптимизации методами линейного программирования.

Линейное программирование является одним из методов решения общих задач оптимизации, в которых учитывается большое число переменных, подчиненных определенным ограничениям. При решении этих задач необходимо получить оптимальное значение определенного критерия эффективности (функции цели), например прибылей, затрат, количества произведенных продуктов или других показателей, при условии, что удовлетворяются поставленные ограничения. Эти ограничения в свою очередь носят различный характер и объясняются условиями производства, управления, сбыта, хранения, наличием сырья или законодательными положениями.

Линейное программирование можно использовать для решения задач оптимизации, в которых выполняются следующие условия:

1. Необходимо наличие линейной функции цели, оптимальное значение которой необходимо отыскать. Требование линейности существенно для применения методов, изложенных в этой и следующей теме. Линейность означает, например, что для изготовления 10 изделий потребуется в 10 раз больше средств, чем для получения одного изделия, или для получения 5 изделий уйдет в 5 раз больше времени, чем на изготовление одного изделия, и т.д. Если же такое допущение пропорциональной зависимости неверно или нельзя получить линейную функцию за счет преобразования переменных, то методы линейного программирования неприменимы.

2. Ограничения также должны быть заданы в виде системы линейных равенств или неравенств.

Если задача поставлена правильно, то можно использовать методы линейного программирования для ее решения.

Рассмотрим следующую производственную задачу:

Необходимо произвести два вида продукции в объемах х₁ и х₂, используя три ресурса, которые имеются в количестве b₁, b₂, b₃, соответственно. Известны нормативы потребления ресурсов на производство единицы первого и второго вида продукции:

a₁₁-количество первого ресурса, необходимого для производства единицы первого вида продукции;

a₁₂-количество первого ресурса, необходимого для производства единицы второго вида продукции;

a₂₁-количество второго ресурса, необходимого для производства единицы первого вида продукции;

a₂₂-количество второго ресурса, необходимого для производства единицы второго вида продукции;

a₃₁-количество третьего ресурса, необходимого для производства единицы первого вида продукции;

a₃₂-количество третьего ресурса, необходимого для производства единицы второго вида продукции.

Пусть c₁ и c₂ – прибыль от реализации единицы первого и второго вида продукции. Это постоянные факторы данной задачи.

Пример П.1. Придадим постоянным факторам конкретные числовые значения и сведем их в табл.П.1.

Таблица П.1.

		Изделие 1 (х1)	Изделие 2 (х2)		Наличие
Ресурс 1	a11 = 2			a12 = 1	b1 = 12
Ресурс 2	a21= 2			a22 = 3	b2 = 18
Ресурс 3	a31 = 1			a32 = 3	b3 = 15
Прибыль	c1 = 5			c2 = 6

Производственная задача формулируется следующим образом:

Найти такие объемы производства продукции х₁ и х₂, при которых потребление ресурсов в соответствии с нормативами не превышало бы их наличия, и при этом прибыль от реализации продукции была бы максимальна.

Предполагая, что количество потребляемых ресурсов, а также прибыль пропорциональны объемам производства, получаем следующую математическую модель задачи:

(I) 2х₁ + 1х₂  12

(II) 2х₁ + 3х₂  18

(III) 1х₁ + 3х₂  15 (П.1.)

х₁  0, х₂  0,

F=5х₁ + 6х₂  max.

Система неравенств (П.1) отражает ограничения на потребляемые ресурсы, а целевая функция F определяет прибыль, которую необходимо максимизировать. Пару чисел х₁ и х₂, удовлетворяющих системе ограничений (2.1), будем называть допустимым планом, а допустимый план, дающий максимальное значение целевой функции F – оптимальным планом (решением).