2. Уравнение энергии. Уравнение Фурье-Кирхгофа (с выводом). Ответ:

Для определения коэффициента теплоотдачи необходимо знать температурный градиент жидкости у стенки, т.е. распределение температур в жидкости. Исходной зависимостью для обобщения опытных данных по теплоотдаче является общий закон распределения температур в жидкости, выражаемый дифференциальным уравнением конвективного теплообмена, которое носит название уравнение Фурье-Кирхгофа:

где ,

где

- теплопроводность,

с – теплоёмкость,

- плотность.

Дифференциальное уравнение конвективного теплообмена или уравнение Фурье-Кирхгофа:

Коэффициент температуропроводности характеризует тепловую инерционность тела, т.е. сравнивает скорость распространения теплоты (температуры) в различных средах (при прочих равных условиях быстрее нагреется и охладится то тело, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности).

Для твёрдых тел

Следовательно,

При установившемся процессе теплообмена

Для практического использования уравнения Фурье-Кирхгофа его представляют в виде функции от критерия подобия.

3. Динамическое уравнение движения (уравнение Навье-Стокса). Уравнение сплошности. (неразрывности движения). Их физический смысл. Ответ:

Уравнения Навье — Стокса (англ. Navier-Stokes) — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение и теплопередачу вязкой жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса.

Система состоит из трех уравнений:

уравнения теплопроводности,

уравнения неразрывности,

уравнения движения.

В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:

где: - оператор Гамильтона, Δ - оператор Лапласа,- вектор скорости, t - время, ν - коэффициент кинематической вязкости, ρ - плотность, P - давление,- вектор плотности массовых сил, T - температура, c_p- теплоемкость при постоянном давлении...

4. Основное уравнение теории теплопроводности (уравнение Фурье) и его физический смысл. Краевые условия. Задачи о температурном поле твердого тела, условия первого, второго и третьего рода. Ответ:

Количество теплоты, передаваемой от горячего теплоносителя, прямо пропорционально площади теплопередающей поверхности F, действующей средней разности температур Δt, продолжительности процесса τ и коэффициенту теплоотдачи :

Коэффициент теплоотдачи показывает, какое количество теплоты передаётся от горячего теплоносителя к холодному через 1 м²поверхности при средней разности температур в 1 градус за 1 с:

Коэффициент теплоотдачи зависит от:

-         скорости жидкости , её плотностии вязкости, т.е. переменных определяющих режим течения жидкости,

-         тепловых свойств жидкости (удельной теплоёмкости ср, теплопроводности ), а также коэффициента объёмного расширения,

-         геометрических параметров – формы и определяющих размеров стенки (для труб – их диаметр d и длина L), а также шероховатости стенки.

Вследствие сложной зависимости коэффициента теплоотдачи от большого числа факторов невозможно получить расчётное уравнение для, пригодное для всех случаев теплоотдачи, поэтому для расчётов используют обобщённые (критериальные) уравнения для типовых случаев теплоотдачи.

Краевые условия(условия однозначности) включают в себя:

• Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в которых протекает процесс

• Физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела

• Временные(начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени

• Граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

Геометрическими условиями задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс.

Физическими условиями задаются физические параметры тела (c, λ, ρ и др) и может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальное условие аналитически может быть записано следующим образом (при τ=0) :

t=f(x,y,z)

при равномерном распределении температуры в теле начальное условие упрощается (при τ=0) :

t=to=const

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Граничные условия I рода. Задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени.

tс=f(x,y,z,τ) tс – температура на поверхности тела.

В частном случае, когда температура на поверхности тела является постоянной на протяжении всего времени протекания процесса теплообмена, уравнение упрощается и принимает вид tс=const

Граничные условия II рода. Задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени.

qп=f(x,y,z,τ)qп- плотность теплового потока. В простейшем случае:qп=qo=const

Граничные условия III рода. Задаются температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

Согласно закону Ньютона-Рихмана количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела tc и окружающей среды tж (tc>tж)

q=α(tс-tж)

где α – коэффициент пропорциональности, называемый коэффииентом теплоотдачи, Вт/(м²*К), характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

q=-λ(∂t⁄∂n)c

отсюда окончательно граничное условие IIIрода :

(∂t⁄∂n)c=- (α/λ)(tс-tж)

5. Решение задачи определения температурного поля плоской однослойной стенки стационарном режиме в граничных условиях первого рода. Многослойная плоская стенка. Тепловой поток через однослойную и многослойную плоскую стенку.

ОТВЕТ:

Теплопередача через многослойную плоскую пластину

Теплопередача-теплообмен между двумя теплоносителями через твердое тело

Q’ –тепловой поток, который подводится от теплоносителя к твердому телу

В стационарном случае при отсутствии источников теплоты

Для тепловых потоков справедливо:

[Дж]

Q’=Q1=Q2=…=Qn=Q’’ [Вт]

Для плотности тепловых потоков

q’= q1=…=qn=q’’ [Вт/м2]

в сплошных телах площадь теплообмена переменна, поэтому плотности потоков будут различаться

q’= б1*( tc1- tп1)

q1=-л*gradt= б*( tп1-t’)/д

…

q’’= б*( tп1- tс2)

получили систему n+2 уравнений (n-количество слоев) с n+2 неизвестными =>

система имеет единственное решение

tc1- tп1=q/б1

tп1-t’= (д1/л1)*q + => tc1- tс2=q(1/ б1+ д1/л1+…+1/б2)

tп1- tс2=q/б2

неизвестные температуры находятся последовательной подстановкой qв уравнения системы.