Лекция 3 Кортеж

Во многих приложениях необходимо использовать совокупности объектов, в которых следует учитывать порядок записи элементов. Например, точка в двумерном пространстве задается двумя координатами: (x, y). Понятно, что если координаты двух точек не равны, то это разные точки, даже если элементы, образующие эти координаты, одинаковы: (2, 5)  (5, 2).

Кортеж – фундаментальное неопределяемое понятие, сходное с понятием множества. Кортежем называется упорядоченный набор из n элементов, каждый элемент x_i которого принадлежит некоторому множеству X_i (1  i  n). Элементы кортежа могут повторяться в нем любое число раз (этим он отличается от упорядоченного множества, куда каждый элемент может входить только в одном экземпляре).

Элементы, определяющие кортеж, называются координатами или компонентами. Координаты нумеруются слева направо, а их число называется длиной или размерностью кортежа. В математике кортеж обычно записывается в круглых или угловых скобках: < a₁, a₂, a₃, ..., a_n >. Иногда скобки или запятые опускаются.

В отличие от множеств, порядок элементов в кортеже является существенным. Так, кортежи <a, b, c, d, a> и <b, a, d, c, a> различны.

Для кортежей справедливо следующее утверждение:

Два кортежа равны, если они имеют равную длину и их соответствующие координаты равны. Иначе говоря, кортежи <a₁, …, a_n> и <b₁, …, b_n> равны, если n=m и a₁=b₁, …, a_n=b_m.

Часто кортежи длины 2 называются упорядоченными двойками, кортежи длины 3 – упорядоченными тройками и т. д. Кортеж нулевой длины называют пустым.

При решении практических задач могут встречаться множества кортежей и кортежи множеств.

Рассмотрим несколько примеров кортежей.

Пример 1.

Самолет собирается из отдельных деталей. Таких деталей, например, в Боинге-747 несколько миллионов. Хотя в реальной жизни различные узлы самолета собирают одновременно друг с другом, теоретически можно составить одну общую последовательность деталей в порядке их использования при сборке. Данная последовательность будет иметь следующие отличительные черты:

1. Порядок следования деталей в данной последовательности является, в общем случае, жестко заданным и не может быть изменен.

2. Некоторые детали могут повторяться. Например, «гайка на 24 мм» может встречаться в последовательности сотни и тысячи раз. При этом тип объекта будет один и тот же (гайки одного типа лежат в одном ящике и являются взаимозаменяемыми), но это будет не одна и та же конкретная гайка, а различные гайки одного типа.

3. Каждый объект данной последовательности будет принадлежать какому-то своему множеству: множеству гаек, множеству кнопок, множеству проводов, множеству колес и т.п.

Таким образом, последовательность всех деталей самолета, расположенных в порядке их использования при сборке, является кортежем.

Пример 2.

Среди студентов группы присутствуют следующие три студента-прогульщика: Иванов (И), Петров (П) и Сидоров (С). Хотя все они часто прогуливают занятия, И умудряется учиться на отлично, П является хорошистом, а С – троечником.

Преподаватель, желая наказать студентов за прогулы, решил в течение всего занятия вызывать их к доске. При этом он составил для себя такую последовательность вызова студентов:

< С, И, П, С, П, С, И, С, П, С, П, И, С, П, С, П, И, П, С, П, С, И, С >

Данная последовательность составлена таким образом, чтобы чаще других к доске ходил С, а реже других – И. Очевидно, что в данной последовательности объекты повторяются, а порядок следования объектов важен и без вмешательства преподавателя не может меняться. Поэтому данная последовательность является кортежем.

Пример 3.

В Украине ежегодно проводится независимое тестирование выпускников школ. При этом в Министерстве образования составляется порядок следования предметов на текущий год. Например, порядок может быть таким:

< укр. язык, математика, история, география, иностр. язык, биология >

В данном списке важен порядок следования предметов, который определяет порядок подготовки учащихся к тестированию. Хотя в данном случае предметы не повторяются, данная последовательность является кортежем. Одновременно последовательность может рассматриваться и как множество – в этом случае порядок следования предметов не имеет значения и может быть произвольным.