Пересечение множеств

Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству А, и множеству В. Операция пересечение обозначается символом . Формально операция может быть записана следующим образом:

AB = {x | xA  xB}.

Например: A={1, 2, 3, 4}, B={2, 4, 6}. Тогда AB={2, 4}.

Диаграмма Эйлера-Венна для операции пересечения приведена на рис. 2.3. Закрашенная область соответствует множеству, получаемому пересечением множеств A и B.

Данную операцию можно распространить и на более чем два множества. В этом случае результатом будет множество элементов, принадлежащих каждому из этих множеств.

A

B

Рис. 2.3. Диаграмма Эйлера-Венна для пересечения множеств

Свойства пересечения:

1. AB = BA (свойство коммутативности).

2. A (BC) = (AB) C = ABC (свойство ассоциативности).

3. A = .

4. AU = A.

Разность множеств

Данная операция, в отличие от операций пересечения и объединения, определена только для двух множеств. Разностью множеств A и B называется множество, состоящее только из тех элементов, которые принадлежат A и не принадлежат B. Разность множеств обозначается символом «\»:

A \ B = {x | xA и xB}

Например: A={1, 2, 3, 4}, B={2, 4, 6}. Тогда A \ B={1, 3}.

Диаграмма Эйлера-Венна для операции разности множеств приведена на рис. 2.4. Закрашенная область соответствует множеству, получаемому вычитанием множества B из множества A.

Операция разности множество строго двуместна и некоммутативна.

Свойства разности:

1. A \ B  A.

2. (A \ B)  A = .

3. A \  = A.

Дополнение множества

Дополнением множества A называется разность универсума и множества A. Иными словами, дополнение множества A содержит все элементы вне множества A. Дополнение обозначается горизонтальной чертой над буквой множества, либо символом . Таким образом, = U \ A. Иногда операцию дополнения называют абсолютным дополнением.

= {x | xA и xU}.

Диаграмма Эйлера-Венна для операции разности множеств приведена на рис. 2.5. Закрашенная область соответствует множеству, являющемуся дополнением множества A.

Свойства дополнения:

1. Множество A и его дополнение не имеют общих элементов: A =.

2. Любой элемент универсума принадлежит либо множеству A, либо его дополнению: A =U.

3. Дополнение дополнения есть исходное множество: =A.

Симметрическая разность

Симметрической разностью множеств A и B называется множество, образованное элементами, которые входят только в одно из данных множеств (но не в оба одновременно). Операция обозначается символом :

A  B = {x | (xA и xB) или (xA и xB)} = (A \ B)  (B \ A).

Диаграмма Эйлера-Венна для симметрической разности множеств приведена на рис. 2.6. Закрашенная область соответствует множеству, получаемому симметрической разностью множеств A и B.

Свойства симметрической разности:

1. A  B = B  A (свойство коммутативности).

2. A  (B  C) = (A  B)  C (свойство ассоциативности).

3. A   = A.

4. A  A = .

5. A  U = .