Подмножества

Понятие подмножества возникает тогда, когда необходимо рассматривать некоторое множество не самостоятельно, а как часть другого, более широкого множества.

Говорят, что множество A является частью или подмножеством множества B (обозначается AB и читается как «A содержится в B» или «A входит в B»), если каждый элемент множества A является одновременно и элементом множества B, т.е. если xA, то xB. Символ  обозначает отношение нестрогого (несобственного) включения между множествами.

В сравнении с обычной математикой символ  близок по смыслу с символом ≤, то есть запись AB говорит о том, что множество A «меньше или равно» множеству B с точки зрения содержащихся элементов. Но путать эти символы не следует: символ ≤ применяется для соотношения чисел, а символ  для соотношения множеств. Иногда вместо выражения AB применяется равносильная запись BA.

Например, пусть A – множество студентов-отличников в данной группе, B – множество всех студентов в группе, C – множество всех студентов в данном потоке. Тогда всегда будут справедливы следующие отношения: AB, BС, AC. В то же время отношения BA, CB и CA будут справедливы не всегда.

Если А является подмножеством В и АB, то говорят, что А является строгим (собственным) подмножеством В, что записывается как AB. Знак  схож по смыслу с математическим знаком < (строго меньше) и подчеркивает, что во множестве B есть хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству A.

Например, если A – множество всех областных центров Украины, а B – множество всех городов Украины, то AB. Запись AB также будет верной, но менее точно отражающей соотношение множеств.

Подмножества обладают рядом свойств:

1. Свойство рефлексивности: XX (всякое множество есть подмножество самого себя).

2. Свойство транзитивности: если XY, YZ, то XZ.

3. Свойство антисимметрии: если XY и YX, то X=Y. Данный принцип еще называют интуитивным принципом объемности: два множества считаются равными, если состоят из одних и тех же элементов.

Не следует путать принадлежность элементов множеству и понятие подмножества. Так, например, число 23 является элементом множества натуральных чисел N, но не является его подмножеством, а множество, содержащее единственный элемент 23 (такое множество можно обозначить как { 23 }), является подмножеством N, но не его элементом.

Также не надо путать символы  и . Первый из них применяется ко множествам, второй – к элементам множества. Например: хотя 1{1}, {1}{{1}}, но 1{{1}}, так как единственным элементом {{1}} является {1}.

Особые множества

Пустое множество.

Само название «множество» наводит на мысль, что каждое множество должно содержать много (по крайней мере, два) элементов. Однако в математике приходится рассматривать множества, содержащие только один элемент, и даже множество, не имеющее ни одного элемента. Это множество называют пустым и обозначают символом  или {} (пишут: A=).

Для чего вводят пустое множество? Когда множество задается характеристическим предикатом, то не всегда заранее известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством. Например, пусть множество A состоит из всех четырехугольников, таких, что все их углы прямые, а диагонали имеют различную длину.

Для человека, не знающего геометрии, ничего противоречивого в этих требованиях нет. Однако из теоремы о равенстве диагоналей прямоугольника следует, что множество таких четырехугольников пусто. Пусто и множество треугольников, сумма углов которых отлична от 180^o. Множество квадратных уравнений, имеющих более трех корней, тоже пусто. Пусты и некоторые множества нематематической природы: множество всех людей, возраст которых больше 500 лет; множество планет солнечной системы, ранее вращавшихся вокруг Сириуса; множество собак, умеющих разговаривать, множество рабочих моделей вечного двигателя и т.п. Для формального задания подобных множеств как раз и используется пустое множество.

Кроме того, можно придумать множества, о которых на данный момент неизвестно – пустые они или нет. Например:

– множество живых динозавров;

– множество дружественных инопланетных рас;

– множество действительных корней уравнения x³⁷–92x²³+301x²⁰–17x¹⁹+177x⁷+25x⁶–x³+99x²+x–3=0.

В математике принято, что пустое множество конечно и является частью (подмножеством) любого другого множества:   A.

Универсальное множество.

Важным понятием в теории множеств является понятие универсального множества или универсума. Универсальным называют множество, элементами которого являются все объекты, а также все возможные множества объектов рассматриваемой области. Универсальное множество обозначается символом U. В отличие от пустого, универсальное множество может выбираться самостоятельно в соответствии с решаемой задачей. Например, если в качестве универсального множества взять множество всех книг в библиотеке, то его элементами будут каждая из книг, а также следующие множества: множество художественных книг, множество книг по математике, множество книг по программированию и т.п.

Рассматривая множество студентов группы, в качестве универсального множества можно взять и множество студентов университета, и множество всех студентов на Земле, и множество всех людей, и множество всех живых существ. Слишком широкий круг объектов охваченный универсальным множеством, может усложнить последующую обработку этих объектов. В то же время слишком узко (хотя на данный момент и корректно) выбранный универсум может в дальнейшем потребовать расширения, что приведет к повторной обработке информации и дополнительным затратам времени и сил.

Если заданы множества A={1, 2, 5} и B={2, 3, 4, 5}, то в качестве универсального может быть выбрано множество U₁={1, 2, 3, 4, 5}. Хотя множество U₂={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} также является универсальным для множеств A и B, оно содержит большее количество элементов, которые, скорее всего, при обработке множеств не понадобятся. Однако использование множества U₂ требует хранения всех его элементов, в том числе и «бесполезных», что при написании компьютерных программ приводит к лишнему расходу памяти компьютера.