Лекция 1 Множества

Человеческое мышление устроено так, что мир представляется состоящим из отдельных «объектов». Хотя с философской точки зрения окружающий мир является единым целым, человеку постоянно приходится выделять в нем объекты для того, чтобы сформировать доступную для рационального анализа картину мира. Выделение объектов и их совокупностей – естественный (или даже единственно возможный) способ организации нашего мышления.

На каждом шагу нам приходится сталкиваться c таким трудноопределимым понятием, которое можно выразить словом «совокупность». Например, можно говорить о совокупности людей, присутствующих в данный момент в данной комнате, о совокупности троллейбусных маршрутов в городе, совокупности видов рыб, совокупности специальностей в университете и т.п. В каждом из этих случаев вместо слова «совокупность» можно было бы употребить слово «множество».

Понятие множества является первичным в математике, поэтому оно не может быть определено с помощью других, более простых понятий (в математике такие первичные понятия называются категориями). На уровне интуиции множество рассматривают как нечто целое, состоящее из объектов, которые называют элементами множества. Создатель теории множеств Георг Кантор говорил, что «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». Сегодня множество обычно рассматривают как объединение различных объектов, обладающих каким-то общим объединяющим признаком, но в то же время четко различающихся между собой. Природа этих объектов может быть произвольной: атомы, галактики, буквы, люди, животные, числа, книги, клавиши на клавиатуре и т.п. Объекты множества могут быть нереальными (воображаемыми).

В любом языке существует много синонимов, эквивалентных понятию множества. Например, такими синонимами являются область, класс, совокупность, система, бригада, коллекция, толпа, библиотека и т.п. Многие из этих понятий используются для обозначения множеств специального вида. Так, говорят о коллекции марок, о бригаде людей, но не говорят о коллекции людей и бригаде марок.

В большинстве случаев множество состоит из определенного конечного числа элементов, даже если их точное количество на данный момент неизвестно. Такие множества называются конечными. В математике постоянно приходится сталкиваться с так называемыми бесконечными множествами. К ним относятся, например, множество целых чисел (обозначается символом Z), множество вещественных чисел (обозначается символом R), множество рациональных чисел (обозначается символом Q), множество всех четных чисел, множество всех целых, дающих при делении на 11 в остатке 7, и другие.

Если элементы бесконечного множества можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел, то оно называется счетным (несчетным – в противном случае). Например, множество четных чисел – счетное, множество действительных чисел – несчетное.

Конечные и счетные множества называют дискретными множествами. Дискретная математика рассматривает, преимущественно, дискретные множества.

Всякое множество состоит из элементов. Элементы множества обычно обозначаются малыми латинскими буквами, а само множество – большой латинской буквой. Знак  используется для обозначения принадлежности элемента множеству. Запись aA означает, что элемент a принадлежит множеству A. Если некоторый объект x не является элементом множества A (не принадлежит множеству A), пишут xA. Например, если A – множество четных чисел, то 2A и 1A.