Лекция 7 Системы счисления

Система счисления – это система записи чисел.

Пусть b – натуральное число, большее единицы. Тогда любое целое неотрицательное число единственным образом представимо в виде:

a = a_n–1b^n–1 + a_n–2 b^n–2 + ... + a₁b + a₀,

где (хотя это теорема, но ее доказательство рассматривать не будем). Подобная запись называется полиномиальной (степенной) формой представления числа. Само число a записывают так: a = a_n–1a_n–2...a₀, где a_i называется i-м разрядом числа. Величина b называется основанием системы счисления, n – разрядность числа, a_i – цифры (алфавит системы счисления).

Подобное представление числа называют позиционным, так как «вес» каждой цифры определяется ее позицией в числе: последняя (младшая) цифра умножается на весовой коэффициент b⁰ = 1, а первая (старшая) цифра – на b^n–1.

Обычно используют следующие системы счисления: b = 2 – двоичная (binary), b = 8 – восьмеричная (octal), b = 10 – десятичная (decimal), b = 16 – шестнадцатеричная (hexadecimal). Перевод чисел из одной системы счисления в другую может быть выполнен путем деления на основание системы счисления или с помощью разрядной сетки.

Пример. Перевести число 26₁₀ в двоичную систему счисления. Выполняем последовательное деление 26 на 2, далее располагаем в обратном порядке последнее частное и остатки.

26	2
26	13	2
0	12	6	2
	1	6	3	2
		0	2	1
			1	
			

Рис. 1.1.

Получена двоичная запись исходного числа: 26₁₀ = 11010₂.

Шестнадцатеричная система счисления.

Современные ЭВМ состоят из электронных элементов, которые могут находиться в одном из двух устойчивых состояний. Эти состояния принято кодировать нулем и единицей. Информация внутри ЭВМ представляется цепочками нулей и единиц, поэтому для чисел наиболее естественно использовать двоичную систему счисления.

Для b = 16 представление чисел оказывается более удобным по сравнению с двоичной системой, поскольку количество цифр в шестнадцатеричном числе в четыре раза меньше, чем в двоичном. Составим таблицу двоичных представлений для чисел от 0 до 2⁴ – 1 = 15. Арабских цифр оказывается недостаточно, поэтому цифрам, идущим после девятки, принято ставить в соответствие первые шесть букв латинского алфавита.

Числа от 0 до 15 в двоичной и 16-ричной системах счисления

b = 16	b = 2	b = 16	b = 2	b = 16	b = 2	b = 16	b = 2
0	0000	4	0100	8	1000	C (12)	1100
1	0001	5	0101	9	1001	D (13)	1101
2	0010	6	0110	A (10)	1010	E (14)	1110
3	0011	7	0111	B (11)	1011	F (15)	1111

Эту таблицу необходимо выучить наизусть.

Сформулируем правила перевода из двоичной системы в 16-ю и наоборот.

Переход 16  2. Заменить каждую цифру ее двоичным представлением. Например, 1A₁₆ = 0001 1010 = 11010₂. (Незначащие нули можно опустить.)

Переход 2  16. Разбить число справа налево на тетрады (четверки цифр). Каждую тетраду заменить 16-ричной цифрой. Например:

11101101111110₂ = 11 1011 0111 1110 = 0011 1011 0111 1110 = 3B7E₁₆

Наименьшей единицей информации принято считать бит (bit – сокращение от английского BInary digiT – двоичная цифра). Бит принимает два значения, которые кодируются нулем и единицей. Тем самым описываются два уровня сигнала, два состояния элемента и т.д. Если значение бита равно 1, то говорят, что он «установлен», если 0 – то «сброшен».

Работать с каждым битом по отдельности сложно, поэтому их объединяют в группы и рассматривают это объединение как единое целое. Наименьшей группой битов, к которым можно обращаться, является байт (byte), состоящий из 8 бит. Биты нумеруются так же, как и разряды в позиционной системе счисления: справа налево, начиная с нулевого

7	6	5	4	3	2	1	0

Части байта имеют свои названия: биты с 0-го по 3-й называют младшим полубайтом, а биты с 4-го по 7-й – старшим полубайтом. Полубайт также называют тетрадой. Один байт может рассматриваться как число без знака в диапазоне от 0 до 2⁸–1=255 или число со знаком в диапазоне от -128 до +127 включительно.

Используют и более крупные единицы. Машинное слово (word) состоит из двух байт:

15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
старший байт								младший байт

Одно машинное слово может представлять собой число без знака в диапазоне от 0 до 2¹⁶–1=65535 или число со знаком в диапазоне от -32768 до +32767.

Двойное слово (doubleword) состоит из двух машинных слов или четырех байтов:

31	30	29	…	16	15	…	2	1	0
			…			…
старшее слово					младшее слово

Одно двойное слово может представлять собой число без знака в диапазоне от 0 до 2³²–1 или число со знаком в диапазоне от (–2³¹) до (+2³¹–1).

Как было отмечено, принятая нумерация битов (слева направо, начиная с нуля) соответствует номерам разрядов в позиционной системе счисления. Если в ячейке памяти записано двоичное число, то номер бита k является показателем в весовом коэффициенте b^k позиционного представления числа. Пусть, например, в байте установлены 5-й и 2-й бит, а остальные сброшены. Это означает, что в нем записано число 1*2⁵ + 1*2² = 32 + 4 = 36.

Нулевой бит ячейки называют также младшим битом. Крайний слева бит носит название «старший бит». Нельзя его называть первым: первым является бит «второй справа».

Для краткой записи содержимого байта можно обычно используют две 16-ричные цифры, для записи содержимого машинного слова – четыре цифры, для записи содержимого двойного слова – восемь цифр.