Отношение толерантности
Сходство между различными объектами имеет точный смысл только тогда, когда указана совокупность признаков, относительно которой это сходство устанавливается. Два объекта считаются сходными (толерантными), если они обладают хотя бы одним общим признаком. Например, если определить отношение между словами как наличие хотя бы одной общей буквы, то толерантными будут пересекающиеся слова кроссворда.
Отношением толерантности (отношением сходства) на множестве A называется бинарное отношение, удовлетворяющее свойствам рефлексивности и симметричности, но не обязательно являющееся транзитивным. Таким образом, отношение эквивалентности является частным случаем толерантности.
На содержательном уровне толерантность означает следующее. Любой объект неразличим сам с собой (свойство рефлексивности), а сходство двух объектов не зависит от того, в каком порядке они сравниваются (свойство симметричности). Однако, если один объект сходен с другим, а этот другой – с третьим, то это вовсе не значит, что все три объекта схожи между собой (таким образом, свойство транзитивности может не выполняться).
Отношение толерантности часто используется для описания отношения сходства между реальными объектами, отношений знакомства или дружбы между людьми. Во всех этих случаях свойство транзитивности не предполагается обязательно быть выполненным. В самом деле, Иванов может быть знаком с Петровым, Петров – с Сидоровым, но при этом Иванов и Сидоров могут быть не знакомы между собой.
Функциональное отношение
Функциональное отношение сходно с понятием функции, но, как и любое отношение, устанавливает зависимости между элементами одного и того же множества.
Отношение Q=AA называется функциональным, если для любых a, b1, b2 A, для которых из выполнения aQb1 и aQb2, следует, что b1=b2. Иными словами, каждый элемент множества может находиться в отношении не более чем с одним элементом этого же множества.
Примером функционального отношения может служить любая математическая функция, для которой область определения и область значений совпадают, поскольку соответствуют множеству действительных чисел R.
Являясь в более общем виде соответствием, функциональное отношение может быть полностью определенным (если функция определена на всех элементах множества), сюръективным (если функция может принимать все значения на заданном множестве значений), инъективным (если разным аргументам функции соответствуют разные значения) и биективным (если отношение является всюду определенным, сюръективным и инъективным).
Для любой математической функции, являющейся отношением, нужно уметь определять ее полноту, сюръективность, инъективность и биективность. Зачастую это наиболее удобно сделать с помощью графика функции. Рассмотрим примеры функций, схематические графики которых представлены на рис. 6.1.
1. На рис. 6.1,а изображен график функционального отношения (функции) x2+y2=1, y>0.
Функция не является полностью определенной, поскольку допустимые значения аргументов лежат в диапазоне [-1; 1].
Функция не является сюръективной, так как может принимать не все значения множества R, а лишь значения в диапазоне [0; 1].
Функция не является инъективной, поскольку есть разные аргументы, которым соответствует одно значение функции.
Как итог, функция не является биективной.
2. На рис. 6.1,б изображен график функции линейного вида.
Функция является полностью определенной, поскольку для нее допустимы любые значения аргументов на множестве R.
Функция является сюръективной, так как может принимать все значения на множестве R.
Функция является инъективной, поскольку нет разных аргументов, которым соответствует одно и то же значение функции.
Как итог, функция является биективной или, иными словами, представляет собой взаимно-однозначное соответствие.
3. На рис. 6.1,в изображен график функции y=sin(x).
Функция является полностью определенной, поскольку допустимыми значениями аргументов являются все числа на множестве R.
Функция не является сюръективной, так как может принимать не все значения множества R, а лишь значения в диапазоне [-1; 1].
Функция не является инъективной, поскольку есть разные аргументы, которым соответствует одно значение функции.
Понятно, что функция не является биективной.
4. На рис. 6.1,г изображен график функции x=sin(y).
Данный график не соответствует отношению функционального типа, поскольку существуют такие x, y1, y2 R, для которых из выполнения xQy1 и xQy2, не следует, что y1=y2.