Лекция 6 Специальные типы отношений

В математике некоторые наиболее широко используемые бинарные отношения получили собственные названия. Рассмотрим их.

Отношение эквивалентности

Некоторые элементы множества можно считать эквивалентными в том случае, когда любой из этих элементов при определенных условиях можно заменить другим. О таких элементах говорят, что они находятся в отношении эквивалентности.

Примерами отношений эквивалентности являются отношения параллельности на множестве прямых какой-либо плоскости; подобия на множестве треугольников; принадлежности к одной группе математических функций или к одному классу геометрических фигур и другие.

Термин «отношение эквивалентности» применяют при выполнении следующих условий:

1) каждый элемент эквивалентен самому себе;

2) утверждение, что два элемента являются эквивалентными, не требует уточнения того, какой из элементов является первым, а какой – вторым;

3) два элемента, эквивалентные третьему, эквивалентны между собой.

Для обозначения эквивалентности используется символ . Тогда рассмотренные условия можно записать следующим образом:

1) aa (рефлексивность);

2) ab  ba (симметричность);

3. ab и bc  ac (транзитивность).

Следовательно, бинарное отношение Q называют отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пусть, некоторому элементу aA эквивалентно некоторое подмножество элементов BA. Тогда это подмножество образует класс эквивалентности, эквивалентный a.

Все элементы одного и того же класса эквивалентности эквивалентны между собой (свойство транзитивности). Тогда всякий элемент aA может находиться в одном и только одном классе эквивалентности, т.е. в этом случае множество A разбивается на некоторое непересекающееся подмножество классов эквивалентности {B_jA : jJ}, где J – некоторое подмножество индексов.

Таким образом, каждому отношению эквивалентности на множестве A соответствует некоторое разбиение множества A на классы B_j. Количество классов эквивалентности, на которые разбивается множество, зависит от заданного отношения и может быть от 1 (если отношение выполняется только для одной группы объектов) до |A| (если отношение выполняется отдельно для каждого объекта).

Пример 1. Задано множество A продаваемых в городе квартир, на котором определено отношение «равны (эквивалентны) по количеству комнат». В этом случае множество A может быть разбито на классы эквивалентности B₁=«однокомнатные квартиры», B₂=«двухкомнатные квартиры», B₃=«трехкомнатные квартиры» и т.д. При этом любая продаваемая квартира относится только к одному классу.

Пример 2. Задано следующее множество чисел:

A={23, 9, 56, 75, 18, 3, 4, 100}.

Зададим на A отношение «иметь одинаковый остаток от целочисленного деления на 3». Как известно, при делении нацело на 3 остаток может быть равен 0, 1 или 2, и других значений остатка быть не может. Количество возможных остатков определяет количество классов эквивалентности, которых будет три: класс B₁ будет содержать элементы множества, для которых mod 3 = 0, класс B₂ – элементы, для которых mod 3 = 1, класс B₃ – элементы, для которых mod 3 = 2. Теперь нам осталось распределить элементы множества A по данным классам.

Легко вычислить, что

23 mod 3 = 2;

9 mod 3 = 0;

56 mod 3 = 2;

75 mod 3 = 0;

18 mod 3 = 0;

3 mod 3 = 0;

4 mod 3 = 1;

100 mod 3 = 1.

Таким образом, имеем: B₁={9, 75, 18, 3}; B₂={4, 100}, B₃={23, 56}.