Лекция 5 Отношения

Если область определения отправления и область прибытия соответствия совпадают, то соответствие называют отношением или преобразованием. Таким образом, отношение определяет взаимосвязи между элементами одного и того же множества.

Определение. Любое подмножество QAⁿ называется n-местным (n-мерным, n-арным) отношением на множестве А. Говорят, что элементы a₁, …, a_n находятся в отношении Q, если кортеж <a₁, …, a_n>  Q.

Если говорить более строго, то отношение есть двойка (совокупность двух множеств) <A, Q>, где A – множество, на котором определено отношение, QAⁿ – закон, по которому устанавливается соответствие между элементами множества. Однако поскольку Q – это множество кортежей, описывающих данное соответствие, то часто под отношением понимают само множество Q.

Одноместные отношения

Одноместное (одномерное) отношение – это просто некоторое подмножество А, поскольку A¹=A. Такие отношения называют признаками. Говорят, что a обладает признаком Q, если aQ и QA. Вот несколько примеров одноместных отношений на множестве:

Пример 1. Имеется множество областных центров Украины. На данном множестве нужно определить отношение «областной центр, название которого начинается с гласной буквы».

Понятно, что в данном случае областные центры рассматриваются не группами по два или по три, а каждый в отдельности. То есть в данной задаче мы имеем дело с одноместным отношением (или признаком). Сформируем его:

Q = {<Ивано-Франковск>, <Одесса>, <Ужгород>}.

Здесь каждый кортеж имеет единственную компоненту, которая соответствует одному элементу заданного множества.

Пример 2. Задано множество целых чисел от 1 до 100. Определить на нем отношение «является квадратом целого числа».

Каждый элемент множества в данном случае рассматривается сам по себе, без связи с другими элементами. Следовательно, наше отношение является одноместным (т.е. признаком) и выполняется для следующих кортежей:

Q = {<1>, <4>, <9>, <16>, <25>, <36>, <49>, <64>, <81>, <100>}.

Пример 3. Имеется множество учебных заведений:

A = {школа, институт, техникум, ПТУ, университет, академия, лицей}.

Требуется определить на множестве A отношение «является высшим учебным заведением».

Понятно, что данное отношение является одноместным (признаком) и выполняется для следующих кортежей:

Q = {<институт>, <университет>, <академия>}.

Как видно из примеров, одноместные отношения – это подмножества множества А, поэтому для случая n=1 термин «отношение» употребляется редко.

Бинарные отношения

Наиболее часто встречающимися и хорошо изученными являются двухместные или бинарные отношения, рассматривающие связи между парами элементов заданного множества.

Если a и b находятся в отношении Q, это обычно записывается в виде aQb или <a, b>Q и читается как «a находится в отношении Q с b». Не следует забывать, что a и b здесь – элементы одного и того же множества.

Рассмотрим несколько примеров бинарных отношений на множестве натуральных чисел N.

Пример 1. Отношение « » выполняется для пар <7, 9>, <7, 7> и не выполняется для пары <9, 7>.

Пример 2. Отношение «иметь общий делитель, не равный единице» выполняется для пар <3, 6>, <4, 10> и не выполняется для пар <6, 5>, <11, 3>.

Пример 3. Отношение «быть делителем» выполняется для пар <2, 6>, <5, 5> и не выполняется для пар <4, 2>, <6, 1>.

Для задания бинарных отношений можно использовать те же способы, что и для задания соответствий: перечислением, графически, таблицей или словесно.

Свойства бинарных отношений

1. Рефлексивность. Отношение Q рефлексивно, если оно выполняется между объектом и им самим, то есть для любого aA выполняется aQa. Например, на множестве людей отношения «быть похожим», «быть знакомым» являются рефлексивными (любой элемент похож на самого себя и знаком с самим собой).

2. Нерефлексивность. Отношение Q нерефлексивно, если хотя бы для одного aA отношение aQa не выполняется. На множестве людей нерефлексивными отношениями являются, например, «уметь лечить», «быть уверенным в», «любить», «уважать».

3. Антирефлексивность. Если отношение Q может выполняться лишь для несовпадающих объектов, то есть ни для какого элемента aA не выполняется aQa, то оно антирефлексивно. Например, на множестве людей отношение «быть братом» является антирефлексивным. Таковым же является и отношение «быть меньше» на множестве действительных чисел.

4. Симметричность. Отношение Q называется симметричным, если для любой пары <a, b>A² при выполнении aQb выполняется и bQa. Например, на множестве людей симметричными являются отношения «быть родственником», «быть похожим».

5. Антисимметричность. Отношение Q называется антисимметричным, если из двух отношений aQb и bQa хотя бы одно не выполнено. На множестве людей антисимметричными являются отношения «быть старше», «быть выше ростом», «быть потомком».

Существует теорема, гласящая, что если отношение антисимметрично, то оно антирефлексивно. Студентам предлагается самостоятельно доказать данную теорему логическим путем.

6. Транзитивность. Отношение Q называется транзитивным, если для любых a, b, c  A из отношений aQb и bQc следует aQc. На множестве людей транзитивными являются отношения «быть равным по росту», «жить в одном городе», «быть богаче».

Следует подчеркнуть, что, в отличие от отношений рефлексивности и симметричности, для отношения транзитивности не формулируется противоположного понятия (антитранзитивности).

7. Транзитивное замыкание. Транзитивным замыканием отношения Q называется отношение, определяемое следующим образом. Если во множестве A существует цепочка из n элементов a=a₁, a₂, ..., a_n=b, в которой между двумя соседними элементами выполняется отношение Q (то есть aQa₂, a₂Qa₃, ..., a_n-1Qb), то говорят, что существует транзитивное замыкание a b. При этом говорить о транзитивном замыкании имеет смысл лишь при n>2, то есть когда цепочка состоит минимум из трех элементов.

Пример 1. Задано множество чисел A={1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 20}. На нем можно определить бинарное отношение «меньше на единицу», которое будет включать следующие пары: Q={<5, 6>, <6, 7>, <7, 8>, <8, 9>, <15, 16>}.

Можно заметить, что используя операцию «+1» (в математике данная операция называется инкрементом, а операция «-1» – декрементом), мы можем построить цепочку из числа 5 к числу 9. Данная цепочка будет состоять из элементов 5, 6, 7, 8, 9, причем между любыми двумя соседними элементами выполняется отношение Q, а элементы 5 и 9 являются крайними (граничными) в этой цепочке. То есть можно говорить о том, что «число 9 достижимо из числа 5 с помощью операции инкремента». Данную фразу можно рассматривать как новое отношение , законом которого является «достижимо с помощью инкремента из». Приняв a=9, b=5, можно записать, что a b. Таким образом, для элементов 9 и 5 мы получили новое отношение , базирующееся на составленном ранее отношении Q. Данное отношение, очевидно, является транзитивным замыканием.

Может показаться, что на множестве A={1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 20} обнаружить рассмотренное выше транзитивное замыкание слишком легко. Однако это лишь кажущаяся легкость. Элементы в исходном множестве не обязательно должны быть упорядочены по возрастанию (как это сделано в примере) и могут быть расположены хаотично: A={12, 9, 5, 16, 7, 1, 20, 8, 15, 3, 6}. Здесь также существует рассмотренное транзитивное замыкание, однако обнаружить его уже не так просто. Если же мощность заданного множества измеряется сотнями тысяч, то поиск транзитивных замыканий возможен только с помощью компьютера и при этом требует значительных затрат времени и разработки специальных алгоритмов обработки.

Элементы 9 и 5 – не единственные во множестве A, которые находятся друг к другу в отношении «достижимо с помощью инкремента из». Можно зависать, что 7 5, 8 5, 8 6, 9 6, 9 7. Каждая из этих цепочек содержит больше двух элементов, поэтому является транзитивным замыканием. Между элементами 6 и 5 отношение выполняется, однако между ними нет транзитивного замыкания, поскольку длина цепочки равна 2. Хотя некоторые математики считают цепочки из двух элементов частными случаями транзитивных замыканий, однако практической пользы от этого нет.

Таким образом, полное множество пар элементов множества A, для которых выполняется транзитивное замыкание , можно записать так:

={<9, 5>, <7, 5>, <8, 5>, <8, 6>, <9, 6>, <9, 7>}.

Пример 2. Задано множество членов королевской семьи:

A={отец, мать, дед, бабка, внук, внучка, правнук, праправнук, прадед, тетка}.

Пусть на данном множестве задано отношение Q с законом «быть отцом». В данном отношении находятся следующие пары элементов: <прадед, дед>, <дед, отец>, <отец, сын>, <сын, внук>, <внук, правнук>, <правнук, праправнук>. Поскольку корона по закону передается только по мужской линии, можно составить цепочку элементов, по которой передается корона:

< прадед, дед, отец, сын, внук, правнук, праправнук>

Между крайними элементами данной цепочки можно установить новое отношение с законом «является предком по мужской линии»: «прадед» «праправнук». Данное отношение является транзитивным замыканием, поскольку между любыми двумя соседними элементами выполняется отношение Q. Это же замыкание выполняется и для других элементов, например: «прадед» «сын», «отец» «внук», «прадед» «правнук» и т.д. Отношения «отец» «сын», «прадед» «дед», «внук» «правнук» также выполняются, но транзитивными замыканиями не являются, поскольку длины их цепочек равны 2. Студентам предлагается самостоятельно найти полное множество пар, для которых выполняется транзитивное замыкание «является предком по мужской линии».

Замыкание является весьма общим математическим понятием. Упрощённо говоря, замкнутость означает, что многократное повторение допустимых шагов не выводит за определённые границы. Поэтому слово «замыкание» следует понимать не как «закольцовывание по кругу», а как «ограниченность чем-либо».