28. Питання несуперечності, повноти та незалежності аксіом числення предикатів. Проблема розв’язуваності (вирішення) для числення предикатів.

Аксіоматична теорія наз. несуперечливою, якщо ні для якого твердження А, сформульованого в термінах цієї теорії, саме твердж. А і ¬А не можуть бути одночасно теоремами цієї теорії.

АТ наз. абсолютно повною, ящо для будь-якого твердж. А, сформ. в термінах цієї теорії, точно одне із тверджень А або ¬А є теоремою.

АТ наз. повною у вузькому розумінні, якщо додавання до її аксіом не вивідного в ній твердження із збереженням всіх правил виведення приводить до суперечливої теорії.

Аксіома А із системи аксіом ∑ наз. незалежною, якщо її виведення із множини аксіом ∑¬А неможливе.

Теорія називається розв'язною, якщо в ній поняття теореми ефективно, тобто існує ефективний процес (алгоритм), що дозволяє для будь-якої формули за кінцеве число кроків визначити, чи є вона теоремою чи ні.

29. Формальна арифметика. Питання несуперечності і повноти формальної арифметики. Теореми Геделя, їх філософські аспекти.

Формальна арифметика – це логіко-математичне числення, яке формалізує елементарну теорію чисел. Мова цього числення, крім логічних зв'язок і рівностей містить нелогічну константу 0 і двомісні функціональні символи, терми будуються із константи 0 за допомогою функціональних символів.

Атомарні формули – це рівність термів. Інші терми будуються із атомарних за допомогою логічного зв’язку.

Аксіоми:

ФТ наз. семантично(змістовно) несуперечливою, якщо жодна з її теорем не є суперечливою, тобто не є хибною в будь-якій інтерпретації.

ФТ наз. синтаксично(внутрішньо) несуперечливою, якщо не існує такої формули F, що F i ¬F є теоремами даної теорії.

Теорія називається повною, якщо в ній для будь-якої формули F виведена або сама F , або її заперечення . В іншому випадку, теорія містить недоведені твердження (твердження, які не можна ні довести, ні спростувати засобами самої теорії), і називається неповною.

Перша теорема Геделя про неповноту формальної арифметики:

Будь-яка несуперечлива формалізація S арифметики або довільної іншої математичної теорії, котра містить арифметику, неповна і недоповнювальна.

Неповнота означає, що в S існує змістовна істина, але нерозв’язна формула.

Недоповнювальність в S означає, що якою б скінченною множиною додаткових аксіом не розширити систему S , то в новій формальній системі знову будуть існувати нерозв’язні формули.

Друга теорема Геделя:

Якщо формалізована теорія дійсно несуперечлива, то незважаючи на те, що твердження про її несуперечність виразимо в її власній мові, доведення цього твердження засобами, що формалізовані в ній самій неможливо.

Перша і друга теореми Геделя про неповноту являють собою найважніші метатеореми. Вони довели нездійсненість в цілому програми Гільберта , яка передбачала повну формалізацію істотної частини математики і обґрунтування отриманої формальної системи шляхом доведення її несуперечливості фінітними методами.