13.Свойства сходящихся последовательностей

1. Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.

4. пусть и , где ,тогда для любого положительного числа найдется натуральное число такое, что для и найдется такое натуральное число , что для .

Возьмем , тогда имеем: и , следовательно . , но - любое сколь угодно малое положительное число Значит, . Полученное противоречие доказывает теорему.

2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

5. пусть , тогда и . Если в качестве выбрать , то .Обратное утверждение неверно, например . Эта последовательность ограничена, но не имеет предела.

3. («о двух милиционерах»). Пусть даны три последовательности , и , причем последовательности и имеют один и тот же предел: и пусть для всех натуральных выполняется неравенство: . Тогда последовательность сходится, причем её предел равен .

6. пусть произвольное сколь угодно малое число, тогда ( ) ; ( ) ; пусть , тогда выполняются неравенства: или .

Итак, , значит, .

25. Найти .

Решение: применить теорему о пределе частного нельзя, так как не существует предела ни числителя, ни знаменателя. Воспользуемся теоремой «о двух милиционерах», предварительно доказав неравенство: (*) для всех .

Действительно, при неравенство (*) выполнено: ; пусть при , где , верно неравенство ; докажем, что верным будет и неравенство . Тогда, на основании принципа математической индукции, неравенство (*) будет верно для всех .

Рассмотрим , так как при . Итак, верно , значит, и для всех .

Известно, что и , значит, (по теореме «о двух милиционерах»).

4. Если последовательности и сходятся, то:

1. ,

2. ,

3. Если, кроме того, для любого и , то .

4. .

7. докажем часть (1) ►Теорема 4.:

Нам нужно проверить, что , где , .

Так как , то .

Так как , то .

Пусть , тогда , а это означает, что , где , .

Докажем часть (2) ►Теорема 4.:

Рассмотрим , последовательность имеет предел, значит, она ограничена, то есть .

Так как , то .

Так как , то .

Возьмем , тогда при имеем .

Итак, , то есть .

Части (3) и (4) доказываются аналогично.

14.Аксиома Больцано-Вейерштрасса и теорема о стягивающейся системе отрезков

В теории пределов очень важно одно свойство действительных чисел, которое обычно принимают за аксиому.

Аксиома Больцано-Вейерштрасса: всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Данная аксиома обеспечивает только существование предела и ничего не говорит о его величине. Однако иногда достаточно знать это, чтобы его найти.

Рассмотрим пример:

25. Дана последовательность . Докажем, что она сходится и найдем ее предел.

Для этой последовательности справедливо равенство . (*)

Для доказательства существования предела применим аксиому Больцано-Вейерштрасса. По индукции можно доказать, что . Поэтому последовательность монотонна и ограничена.

Если последовательность имеет предел , то левая часть равенства (*) стремится к , а правая - к . Получаем , или . Очевидно, не является пределом последовательности . Значит, .

Аналогично можно доказать, что , если .

5. Пусть даны две последовательности и такие, что:

1. последовательность монотонно не убывает: ;

2. последовательность монотонно не возрастает ;

3. для любого выполняется неравенство ;

4. разность стремится к нулю при , .

Тогда существует число , являющееся общим пределом этих последовательностей: , причем, для всех выполняется неравенство .

8. рассмотрим последовательность , она не убывает и ограничена сверху: , значит у нее есть предел (аксиома Больцано – Вейерштрасса), обозначим его .

Аналогично, для : она не возрастает и ограничена снизу: , значит, в силу аксиомы Больцано – Вейерштрасса, последовательность имеет предел, обозначим его .

Рассмотрим условие 4): ; поскольку существует предел каждого слагаемого, можно применить теорему о пределе суммы (разности): , значит, и последовательности имеют общий предел .

25. Последовательности и определяются рекуррентными соотношениями , , причем ; где . Докажите, что они имеют общий предел.

9. из условий следует, что ; докажем, что , используя метод математической индукции. Пусть для , где , тогда ; значит, ; ; значит, ; ; значит, ; ; значит, ; отсюда следует не только тот факт, что , но и возрастание последовательности , убывание последовательности .

Рассмотрим , поэтому и .

В силу ►Теорема 5. последовательности и имеют общий предел.

►Теорема 5. имеет следующий геометрический смысл. Рассмотрим отрезки . Из условий следует, что отрезок является частью отрезка (так как и ), кроме того, длины отрезков стремятся к нулю, когда . Неравенство означает, что точка принадлежит всем отрезкам .

Таким образом, геометрическая формулировка ►Теорема 5. такова:

6. Пусть последовательность отрезков ; ; … ; … такова, что:

1. каждый следующий отрезок является частью предыдущего: ;

2. длины отрезков стремятся к нулю при , .

Тогда существует единственная точка , принадлежащая всем этим отрезкам, причем .

Говорят, что система отрезков стягивается в точку , поэтому ►Теорема 6. называют теоремой о стягивающейся системе отрезков. Эта теорема играет существенную роль в теории действительных чисел.