17. Общий случай p-срочной ренты с многократными начислениями процентов в году. Расчет наращенной суммы и современной стоимости.

Рента р-срочная, р≥1, m≥1. Это самый общий случай р-срочной ренты с начислениями процентов m-раз в году, причем возможно p≠m

Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/р года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

( = (

Второй член ренты к концу срока возрастет до

= и т.д.

Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель - , число членов np. В результате получаем наращенную сумму

S = = R

Следует отметить, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая лишь соответствующие значения p и m.

16. Годовая рента, начисление процентов несколько раз в году. Расчет наращенной суммы и современной стоимости.

Рассмотрим, как усложнится ф-ла, если предположить платежи делают 1 раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году. Это означает ,что применяется каждый раз ставка j/m, где j – номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид: ,

Если рассмотрим эту последовательность справа налево, то увидим, что перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем , а число членов равно n. Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты:

S = R

Задача:

В течении трех лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые ежеквартально (m=4) начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

S = – 1]/[ -1] = 33,222 млн. руб.

15. Обычная годовая рента. Расчет наращенной суммы и современной стоимости.

Наращенная сумма – сумма всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Это может быть обобщенная сумма задолженности, итоговый объем инвестиций и т.п. В конце каждого года в течение лет на счет вносится по рублей. В конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии:.

S=R + R(1+i)+R +…+

Так как наращенная сумма равна геометрической прогрессии, то

S = R = R = R*S (t,i), где - коэффициент наращения ренты.

13. Финансовые ренты и их классификация.

Финансовая рента (аннуитет) – это поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны.

Финансовая рента имеет следующие параметры:

• член ренты - величина каждого отдельного платежа;

• период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами;

• срок ренты – время, измеренное от начала ренты до конца ее последнего периода;

• процентная ставка – используется при наращивании или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Виды финансовых рент:

- по количеству платежей в течение года (годовые – один раз в году); p – срочные (p платежей в году), непрерывные;

- по количеству начисления процентов: 1 раз в году; m – раз в году; непрерывно.

Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

- по величине элементов (платежей) рента: постоянные (с равными платежами) и переменные (с неравными платежами).

- по вероятности выплат: верные (с заранее определенными платежами); уставные (значительная часть платежей, которые не определены).

- по количеству элементов: заданные (ограниченные) и бесконечные (вечные).

- по соотношению начального срока ренты и начала действия ренты и начало действия контракта: немедленные, отсроченные и отложенные.

- по моменту выплат платежей: постнумерандо (платеж в конце периода) и пренумерандо (платеж в начале периода).