Функціональна модель плану експеримента.

    Функціональна модель визначає кількість елементів структурної моделі, які повинні служити дійсними вимірювачами відгуку, тобто визначати, скільки необхідно мати різних інформаційних точок. Подібні функціональні моделі, у відповідності з визначенням Берти, можуть бути досконалими, або недосконалими. Функціональна модель називається досконалою, якщо у вимірюванні відгуку приймають участь всі її елементи (N_f = N_s). Недосконалою, якщо кількість маючих місце відгуків менше кількості елементів, тобто (N_f < N_s). В більшості складних експериментальних дослідженнях, кількість можливих комбінацій факторів і розглядаємих їх рівнів, майже нескінчена, тому, щоб задовольнити ресурсним обмеженням необхідно йти на велику кількість компромісів. Розглянемо приклад номограми, яка може бути використана для попереднього планування експерименту у відношенні числа факторів, рівнів, повторень експерименту, а також швидкості обчислень і витрат на них (рис. 12.1). Два лівих квадранта побудовані за допомогою наступного виразу для повного числа машинних прогонів необхідних при симетрично-повторюваному експерименті, тобто 

(12.1)

де     k - число факторів;     q - число рівнів;      p - число повторень;     N - повна кількість машинних прогонів; 

Рис. 12.1. Приклад номограми.

    Виберемо кількість факторів в лівому верхньому квадранті. З вибраної точки проведемо горизонтальну пряму до перетину її з кривою, яка відповідає потрібному числу рівнів фактора. З точки перетину проведемо вертикальну пряму вниз до перетину її з кривою в лівому нижньому квадранті, яка відповідає потрібному числу повторень. З отриманої точки проведемо горизонтальну пряму вправо до перетину її з кривою в правому нижньому квадранті, яка відповідає середньому часу виконання одного машинного прогону. Криві в правому нижньому квадранті побудовані в розрахунку на те, що витрати машинного часу на даний проект не перевищує 20 хв. машинного часу в день. Проектуючи отриману точку вертикально вниз, ми отримаємо оцінку кількості календарних днів необхідних для отримання шуканих даних. Проектуючи цю ж точку вертикально вгору, до перетину з кривою у верхньому правому квадранті, яка відповідає вартості в годинах машинного часу, ми отримуємо останню точку перетину. Вертикальна координата цієї точки представляє собою оцінку повної вартості машинного часу, необхідного для отримання всіх шуканих даних. Розглянутий на номограмі приклад відповідає експерименту з 3 факторами, 3 рівнями, 15 повтореннями, 120 секундам на один машинний прогін моделі і вартості одного машинного часу рівному 500 доларів. Такий експеримент потребує 405 обчислювальних циклів, приблизно 13,5 годин машинного часу, близько 40 днів на отримання всіх даних і повну вартість 6000 доларів.     Якщо в попередньому експерименті замість трьох факторів вибрано 2, такий експеримент потребує лише 135 обчислювальних циклів, 4,54 години машинного часу, 13,5 днів на отримання даних і всього 2250 доларів.     Приведена вище номограма дозволяє проектувальнику швидко оцінити свої можливості при проведенні експерименту. Припустимо, що внаслідок обмежень по вартості або машинному часі експерименту, проектувальник вважає необхідним зменшити повну кількість обчислювальних прогонів. Тоді бажано проаналізувати відносний вплив факторів, рівнів і кількості повторень на кількість потрібних машинних прогонів. Один із способів зробити це - знайти, яка з цих трьох змінних величин дає найбільше скорочення повної кількості прогонів на одиничну зміну змінної. Для цього виконаємо диференціювання (12.1) по p, k і q, а потім розглянемо відношення отриманих рівнянь.

    1. Кількість факторів до кількості рівнів.

(12.2)

    Якщо  , qlnq>k, то одинична зміна кількості факторів змінює повне число машинних пристроїв порівняно з одиничною зміною кількості рівнів фактора в більшій степені.     2. Кількість повторень до кількості рівнів.

(12.3)

    Якщо  ; q>pk. В цьому випадку одинична зміна кількості повторень змінює певне число машинних прогонів порівняно з одиничною зміною кількості рівнів в більшій степені.     3. Кількість повторень до кількості факторів.

(12.4)

    Якщо  ; plnq<1, то вплив на число машинних прогонів має одинична змінна кількості повторень, а ніж одинична зміна кількості факторів.     З рівнянь (12.2)-(12.4) отримуємо:

1. якщо kp>q і k>qlnq, то домінує (здійснює найбільший вплив на повне число машинних прогонів) зміна кількості рівнів.

2. якщо plnq>1 і k<qlnq, то домінує число факторів.

3. якщо q>kp і plnq<1, то домінує число повторень.

    Приведений вище аналіз дає основу для розробки швидкого графічного методу визначення домінуючої для експерименту змінної (рис. 12.2). Цей метод оснований на використанні графічних відображень рівнянь (12.2)-(12.4).

Рис. 12.2. Графічний метод визначення домінуючої змінної.

    Графік а) - це відношення (qlnq)/k, як функція кількості рівнів q при кількості факторів в межах від 1 до 5. Якщо відношення (qlnq)/k>1, при даних величинах q і k, то домінує число факторів і навпаки.     Графік б) - це графік залежності відношення q/kp від числа рівнів q для величин добутків kp від 1 до 5. Якщо q/kp>1, то домінує число повторень. Якщо ж q/kp<1, то домінує число рівнів. Якщо kp>=5, то завжди домінує число рівнів.     Графік в) - це графік залежності відношення 1/plnq від числа рівнів q для p=1,2,10 повторень. Якщо 1/plnq>1, то домінує число повторень. Якщо 1/plnq<1, то при p>=2 і q>=2 фактори домінують над повтореннями.     За допомогою цих графіків і встановлених вище співвідношень можна виявити, одинична зміна, якої з трьох змінних (числа факторів, рівнів або повторень) приводить до максимального скорочення повного числа машинних прогонів.