22. Уравнения Гельмгольца
Выпишем первые два уравнения из системы Максвелла в виде:
Эти два уравнения могут быть приведены к одному. Для этого применим операцию rot к левой и правой частям второго уравнения, а затем выразим полученную правую часть через первое уравнение:
Если воспользоваться законом Гаусса, который в соответствии с принятым условием ρ=0 обеспечивает dive=0, то последнее уравнение может быть записано в следующем виде:
Также относительно векторного поля H:
Эти уравнения носят название уравнений Гельмгольца. Эти уравнения описывают стационарные волновые процессы, т.е. распространение в пространстве волн с некоторой постоянной чатсотой.
Волновые процессы. Фазовый фронт. Плоская, сферическая, цилиндрическая волны
Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной).
Фазовый фронт — геометрическое место точек, имеющих одну и ту же фазу.
Плоская волна: рассмотрим безграничное трехмерное пространство с декартовой системой координат x, y, z, в каждой точке которого задана некоторая величина А, которая во времени и в пространстве меняется по закону:
При этом говорят, что в пространстве существует монохроматическая плоская волна.
Сферическая волна: данный тип волн получается в тех случаях, когда какой-либо точечный источник возбуждает неограниченное однородное пространство. Волновые фронты имеют вид сфер. Если амплитуда колебаний зависит лишь от радиальной координаты r, то можно показать, что при гармоническом законе изменения поля во времени справедлива следующая зависимость:
Цилиндрические волны: волны, возбуждаемые бесконечной нитью источников, расположенных по оси z. Волновые фронты при этом имеют вид концентрических цилиндров. На расстоянии от оси, значительно превышающем длину волны, справедливо следующее приближение:
Плоская волна. Характеристическое сопротивление среды
Плоская волна: рассмотрим безграничное трехмерное пространство с декартовой системой координат x, y, z, в каждой точке которого задана некоторая величина А, которая во времени и в пространстве меняется по закону:
При этом говорят, что в пространстве существует монохроматическая плоская волна.
Из теории линий с распределенными параметрами известно, что между напряженностью электрического поля и напряженностью магнитного поля существует пропорциональность:
Здесь Zc – некотрая постоянная, имеющая размерность сопротивления и называемая характеристическим (волновым) сопротивлением данной среды. Полностью определяется лишь параметрами среды
Фазовая скорость и постоянная затухания плоских волн
Волновые фронты представляют собой бесконечные плоскости, перпендикулярные оси z и перемещающиеся в пространстве со скоростью
-
которая носит название Фазовой скорости.
Распространение волн в любой реальной среде неизбежно сопровождается уменьшением их амплитуды за счет тепловых потерь. В общем виде можно записать соотношение пропорциональности:
,
где А0 – исходная величина, α – постоянная
затухания волны.