AiG_voprosy_1

39. Эллипс: уравнение, общий вид и свойства кривой.

Определение. Эллипс - это геометрическая фигура, которая ограничена кривой, заданной уравнением  .

Он имеет два фокуса. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

Чертеж фигуры эллипс

F₁ , F₂ – фокусы . F₁ = ( c ; 0); F ₂ (- c ; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

2) Весь эллипс содержится внутри прямоугольника

3) Эксцентриситет эллипса e < 1.

Действительно,

4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике)

5) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.

40. Гипербола: уравнение, общий вид и свойства кривой.

Гипербола — это плоская кривая второго порядка, которая состоит из двух отдельных кривых, которые не пересекаются. Формула гиперболы y = k/x, при условии, что k не равно 0. То есть вершины гиперболы стремятся к нолю, но никогда не пересекаются с ним.

Гипербола — это множество точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Основные понятия

1. Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями.

2. Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы называются вершинами.

3. Кратчайшее расстояние между двумя ветвями гиперболы называется большой осью гиперболы.

4. Середина большой оси называется центром гиперболы.

5. Расстояние от центра гиперболы до одной из вершин называется большой полуосью гиперболы. Обычно обозначается a.

6. Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием. Обычно обозначается c.

7. Оба фокуса гиперболы лежат на продолжении большой оси на одинаковом расстоянии от центра гиперболы. Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется действительной или поперечной осью гиперболы.

8. Прямая, перпендикулярная действительной оси и проходящая через её центр, называется мнимой или сопряженной осью гиперболы.

9. Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, перпендикулярный к её действительной оси, называется фокальным параметром.

10. Расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы называется прицельным параметром. Обычно обозначается b.

Каноническое уравнение гиперболы в декартовых координатах: x² / a² - y² / b² = 1

Уравнение касательной к гиперболе, заданной каноническим уравнением, имеет вид:

x_ox / a² - y_oy / b² = 1 или y = y_o + (b²x_o)(x - x_o) / (a²y_o)

Уравнение нормали к гиперболе имеет вид:

y = y_o - (a²y_o)(x - x_o) / (b²x_o)

Гиперболу, у которой a = b, называют равнобочной. Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением: xy = a² / 2, при этом фокусы гиперболы располагаются в точках (a, a) и (−a,−a).

Свойства гиперболы:

1) Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

2) Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями

3) Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением, (11.3`) для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5) Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

41. Парабола: уравнение, общий вид и свойства кривой.

Параболой ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых  от заданной точки  F , называемойфокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы.

Уравнение параболы ( рис.1 ) :

y ² = 2 p x .

Здесь ось ОХ  является осью симметрии параболы.

Пусть  Р ( х₁ ,  у ₁ ) – точка параболы, тогда  уравнение касательной к параболе  в данной точке имеет вид:

у ₁ y  = p ( x +  х₁ ) .          

Условие касания прямой  y = m x + k  и параболы  y ² = 2 p x :

2 m k   = p .

Свойства параболы:

1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e<1), гиперболу (при e>1) или параболу (при е=1).

1. Приведение уравнений линий второго порядка к каноническому виду.

2. Эллипсоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением   a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.

Свойства эллипсоида.

1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что     

2. Эллипсоид обладает

   • центральной симметрией относительно начала координат,

   • осевой симметрией относительно координатных осей,

   • плоскостной симметрией относительно начала координат.

3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением   Это замкнутая овальная поверхность, симметричная каждой из координатных плоскостей (рис. 55).

3. Однополостный гиперболоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением   a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом.

Свойства однополостного гиперболоида.

1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

2. Однополостной гиперболоид обладает

   • центральной симметрией относительно начала координат,

   • осевой симметрией относительно всех координатных осей,

   • плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением   Она имеет форму трубки, бесконечно расширяющейся в обе стороны от плоскости Оху и симметричной относительно трех координатных плоскостей (рис. 56).

4. Двуполостный гиперболоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением   a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

Свойства двуполостного гиперболоида.

1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что   и неограничен сверху.

2. Двуполостный гиперболоид обладает

   • центральной симметрией относительно начала координат,

   • осевой симметрией относительно всех координатных осей,

   • плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при   получается эллипс, при   – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением   Эта поверхность состоит из двух отдельных полостей, каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши, и симметричная относительно трех координатных плоскостей (рис. 57).

5. Конус второго порядка: уравнение, общий вид и свойства поверхности.

В частности, если направляющей конической поверхности является эллипс с полуосями а и в, лежащий в плоскости z = с, а вершина находится в начале координат О (рис. 54), то уравнение такой поверхности имеет вид 

6. Эллиптический параболоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением   a > 0, b > 0, называетсяэллиптическим параболоидом.

Свойства эллиптического параболоида.

1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

2. Эллиптический параболоид обладает

   • осевой симметрией относительно оси Oz,

   • плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Oxи Oy – парабола.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением   где     Эллиптический параболоид имеет вид выпуклой чаши, симметричной относительно координатных плоскостей Охz и Оуz (рис. 58).

7. Гиперболический параболоид: уравнение, общий вид и свойства поверхности.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением   a > 0, b > 0, называется гиперболическим параболоидом.

Свойства гиперболического параболоида:

1. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

2. Гиперболический параболоид обладает

   • осевой симметрией относительно оси Oz,

   • плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.

3. В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси координат Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy, – парабола.

4. Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением   где     Она имеет форму седла  (рис. 59).

8. Цилиндрические поверхности второго порядка.

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой  . Линия Lпри этом называется направляющей цилиндрической поверхности, а каждая из прямых, составляющих поверхность и параллельных прямой  , – ее образующей (рис.49).

Рис. 49

Если направляющая цилиндрической поверхности лежит в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости, то уравнение такой поверхности совпадает с уравнением направляющей L, то есть содержит только две переменных.

Так, уравнение   определяет эллиптический цилиндр. Направляющая этой поверхности – эллипс, лежащий в плоскости Оху, а образующие параллельны оси Оz (рис. 50).

Рис. 50

Уравнение   определяет гиперболический цилиндр. Его направляющая – гипербола, лежащая в плоскости Оуz, образующие параллельны оси Ох (рис. 51).

Рис. 51

Уравнение   определяет параболический цилиндр. Его направляющая – парабола, лежащая в плоскости Охz, образующие параллельны оси Оу (рис. 52).

Рис. 52

Конической поверхностью называется поверхность, составленная из всех прямых, пересекающих данную линию L и проходящих через данную точку Р. Линия L при этом называется направляющей конической поверхности, точка Р – ее вершиной, а каждая из прямых, составляющих коническую поверхность, – ее образующей (рис. 53).

Рис. 53

9. Определение и примеры линейного пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность линейного пространства.

Линейное (векторное) пространство – множество из R элементов (векторов), если оно удовлетворяет некоторым условиям:

1)Каждым 2-м элементам из R сопоставляется элемент этого же множества.

x+y=z x+y=y+x (x+y)+z=x+(y+z) x+0=x x+(-x)=0

2) Введена операция умножения элементов на число.

y=vx 1x=x v(mx)=(vm)x

3) Операция сложения элементов и умножения их на число удовлетворяет законам дистрибутивности

v(x+y)=vx+vy (v+m)x=vx+mx

Линейно зависим. и независим. вектора

Линейное пространство называется n-мерным, если:

Существует n линейно независимых векторов;

Любая система (n+1) векторов линейно зависима;

42. Базис линейного пространства и теорема о разложении вектора по векторам базиса.

 Разложение вектора по базису.

Определение. Пусть   – произвольный вектор,   – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

                    ,                       (1)

то говорят, что вектор   представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов   является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора   по базису  . Коэффициенты линейной комбинации   называются в этом случае координатами вектора   относительно базиса  .

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство на

http://fxdx.ru/page/razlozhenie-vektora-po-bazisu

43. Преобразование координат при переходе к новому базису.

44. Евклидово пространство. Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского.

Если каждой паре векторов x, y линейного пространства L поставлено в соответствие действительное число (x,y), так, что для любых x, y и z из L и любого действительного числа α справедливы следующие аксиомы:

(x, y) = (y, x),

(α·x, y) = α·(x, y),

(x + y, z) =(x, z) + (y, z),

(x, x)> 0 при x ≠ 0, (0, 0) = 0,

то в пространстве L определено скалярное произведение (x, y).

Если в линейном пространстве определено скалярное произведение, то такое пространство называется евклидовым пространством.

Неравенство Коши-Буняковского.

Для любых векторов x и y евклидова пространства E со скалярным призведением (x, y)  справедливо неравенство:

|(x, y)|² ≤ (x, x)·(y, y).

Это неравенство называется неравенство Коши-Буняковского.

Иногда это неравенство называют неравенством Шварца.

45. Ортогональный и ортонормированный базис евклидова пространства. Процесс ортогонализации.

46. Ортогональные (унитарные) матрицы.

Ортогональная матрица и её свойства

Действительная квадратная невырожденная матрица   называется ортогональной, если  . Из определения следуют основные свойства ортогональной матрицы  .

1.  .

2.   — модуль определителя ортогональной матрицы равен единице.

3. Матрица   (или, что то же самое  ) является ортогональной.

4. Произведение ортогональных матриц одного и того же порядка является ортогональной матрицей.

Докажем последнее свойство. Пусть   и   — ортогональные матрицы одного и того же порядка. Тогда по свойствам операций обращения и транспонирования матриц имеем

Следовательно, произведение   есть ортогональная матрица.

Унитарная матрица и её свойства

Комплексная квадратная невырожденная матрица   называется унитарной, если  . Следующие свойства унитарной матрицы   аналогичны свойствам ортогональной матрицы.

1.  .

2.   — модуль определителя унитарной матрицы равен единице.

3. Матрица   является унитарной.

4. Произведение двух унитарных матриц одного и того же порядка является унитарной матрицей.

47. Определение и примеры линейного оператора.

Определение линейного пространства 

 Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать   ...), в котором установлены правила:

 1) любым двум элементам   соответствует третий элемент   называемый суммой элементов   (внутренняя операция);

 2) каждому   и каждому   отвечает определенный элемент   (внешняя операция).

     Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:

 I. 

II. 

III.   (нулевой элемент, такой, то  ).

IV.   (элемент, противоположный элементу  ), такой, что 

 V. 

 VI. 

VII. 

VIII.       Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C).Примеры на http://mathhelpplanet.com/static.php?p=linyeinye-prostranstva