2.2. Пряма й обернена геодезичні задачі.

Обчислення прямокутних координат точок, визначення напрямів та довжин ліній пов'язані з розв'язуванням прямої та оберненої геоде­зичних задач. Пряма геодезична за­дача полягає у визначенні за відо­мими координатами початку лінії АВ Х_А і У_А, її азимутом а чи рум­бом,) і горизонтальною проекцією Б координат кінця цієї лінії - точки В. Обернена задача передбачає виз­начення за відомими координата­ми початку та кінця лінії її довжини та напряму. Розв'язуючи ці задачі, необхідно уяснити поняття про прирости координат. Ними є довжини катетів прямокутного трикутника АА'В - АХ та АУ

Рис. 2.4. Схема до вирішення прямої і оберненої геодезичних задач

(рис. 2.4).

Як вид­но з рисунка, прирости координат можна обчислити за формулами:

; (2.3)

. (2.4)

Залежно від напряму лінії (величини дирекційного кута чи назви румба), прирости координат можуть бути додатними або від'ємними. Координати точки В знаходять за формулами:

ХВ=ХА+ ХАВ; (2.5)

УВ = УА + УАВ, (2 .6)

тобто, координата наступної точки дорівнює координаті попе­редньої плюс відповідний приріст координат (з його знаком).

Для розв'язку оберненої геодезичної задачі обчислюють прирости координат лінії АВ за формулами:

ХАВ =ХВ- ХА; (2.7)

УАВ = УВ - УА, (2.8)

а потім знаходять її напрям. Для цього за формулою:

обчислюють тангенс румба цієї лінії, а за ним - його кутову вели­чину. Назву румба встановлюють за знаками приростів координат (табл. 2.1).

Необхідність у розв'язуванні оберненої геодезичної задачі виникає у процесі прив'язки до опорних пунктів, тобто передачі дирекційного кута (азимута) на лінію полігону та координат на одну з його вершин від точок з відомими координатами. Визначивши таким чином румб лінії між пунктами геодезичної мережі, його переводять в азимут (дирекцій- ний кут), а далі, використовуючи залежність між азимутами і внутрі­шніми кутами полігону, обчислюють азимути усіх його сторін. Прив язка до опорних пунктів на конкретному прикладі розглянута у розділі "Тео­долітне знімання".

Тема 3 Системи координат

3.1. Поняття про системи координат

П оложення точки на фізичній поверхні Землі визначається систе­мою координат - лінійними та кутовими величинами. В геодезії викори­стовують різні системи координат. Складаючи карти великих територій земної поверхні та працюючи на них, користуються географічними координатами. Місцезнаходження точки у цій системі визначають її довгота і широта (рис. 2.4). Довготою точки називають кут між площинами початкового (нульового) меридіана та меридіана, проведе­ного через цю точку. За початковий прийнято вважати Гринвіцький ме­ридіан, який проходить через м. Гринвіч поблизу Лондона. Розрізняютьсхідну й західну довготи. їхні величини змінюється від 0° до 180°. Широта точки - кут між перпендикуляром, опущеним з неї до центру Землі й площи­ною екватора. Широти зміню­ються в межах від 0 до 90° і можуть бути північними або південними, залежно від того, у якій півкулі знаходиться точ­ка. Географічні координати точок земної поверхні визна­чають за даними астрономіч­них спостережень.

Для виготовлення топографічних карт (планів) та обчислення коор­динат пунктів опорних геодезичних мереж застосовують поперечно- циліндричну рівнокутну проекцію Гаусса. Земну поверхню ділять через 6° меридіанами на 60 зон, кожну з яких проектують на бічну поверхню циліндра, котру після цього розгортають у площину (рис. 2.5). При цій проекції осьовий меридіан кожної зони зображується в головному мас­штабі карти без спотворень. Масштаб спотворень в інших місцях зони можна визначити за формулою:

(2.2)

де у - ордината точки (відстань від осьового меридіана); Я - середній радіус Землі. Зрозуміло, що спотворення швидко зростають у напрямі до країв зони, де вони можуть сягати значних величин. Щоб зменшити спотворення проекції, при складанні карт масштабу 1:5000 і більше застосовують 3-градусні зони.

Зручні робочі формули для обчислень координат точок у цій сис­темі запропонував Крюгер, тому вона носить назву зональної систе­ми прямокутних координат Гаусса-Крюгера.

Координати точок у кожній зоні визначають за їхніми відстанями від екватора (X) та від осьового меридіана зони (У). Оскільки територія нашої країни розташована на північ від екватора, то значення абсцис точок на її поверхні завжди будуть додатними. Щоб уникнути від'ємних значень ординат, значення У початку координат приймають рівним +500 км. Попереду ординати вказують номер зони, в якій знаходиться дана точка. Наприклад, якщо точка А у 6 зоні віддалена на захід від осьового меридіана на відстань 45235 м, то значення її абсциси дорів­нюватиме У_А = 500000 - 45235 = 454765 м, а з урахуванням номера зони - У_Л= 6454765 м.

С кладаючи плани невеликих ділянок землі, найчастіше користу­ються місцевою системою прямокутних координат, початком якої може бути будь-яка точка зем­ної поверхні, а положення точки на площині визначається шляхом її проектування на дві взаємно пер­пендикулярні прямі - вісь ординат і вісь абсцис (рис. 2.6).

Слід пам'ятати, що геодезична система прямокутних координат по­вернута відносно системи прямокут­них координат, прийнятої в матема­тиці, на 90", після чого перевернута на 180° (дзеркальне відображення). Таке розміщення осей координат дозволяє під час геодезичних обчислень користуватись формулами тригонометрії, оскільки азимути (дирекційні кути) відраховують від вер­тикальної осі за ходом годинникової стрілки, а у тригонометрії кути від­раховують від горизонтальної осі проти нього.

Для визначення положення, наприклад точки А, потрібно виміряти відстані від початку координат (точки О) до перпендикулярів, опущених з точки А на осі абсцис і ординат, тобто відрізки ОА' і ОА". Це і будуть прямокутні координати точки А - Х_А та У_А.

П роводячи геодезичні знімання часто користуються полярними координатами. За їхній початок (полюс) приймають точку, координати якої відомі (геодезичний пункт, пере­хрестя доріг чи лісових просік, тахео­метричну станцію тощо), а за початко­вий напрям - напрям на іншу точку з відомими координатами. Положення точки А на місцевості визначають за кутом в між початковим напрямом та напрямом на дану точку і відстанню сі до неї (рис 2.7). Кути відраховують за годинниковою стрілкою. Полярна систе­ма координат служить основою для то­пографічних знімань місцевості (тахеомет­ричного, мензульного).

З описаних систем координат тільки географічна може бути поширена на всю територію земної поверхні. Однак її

використання в інженерній геодезії обмежене тим, що координати точок тут визначаються у градусній мірі, в той час як відстані вимірюють у мет­рах. Зональна система координат дозволяє перетворювати географічні координати точок місцевості у прямокутні. Разом з тим, ці обчислення є досить громіздкими й вимагають значних затрат часу.