Свойства предела функции при . Теорема о единственности предела.
Если функция имеет предел при , то этот предел единственен.
Пусть
,
тогда для любого
найдется такое
,
что для всех
выполняются неравенства:
и
,
тогда
Следовательно,
неотрицательное число
меньше любого положительного числа
.
Таким числом может быть только нуль:
,
,
.
Основные теоремы о пределах функций
Основные теоремы
о пределах функций при
аналогичны теоремам о пределах
последовательностей.
Если при функции и имеют конечные пределы, то при существует также предел их суммы и произведения, при этом
;
;Если
,
то существует предел частного
и
.Если
,
то
.
Обозначим
.
Тогда
,
,
где функции
и
- бесконечно малы при
.
Значит,
.
По теореме о сумме бесконечно малых
функций,
бесконечно мала при
.
Следовательно,
.Рассуждая аналогично имеем:
.
По теоремам 13 и 14 о бесконечно малых
функциях
бесконечно мала при
.
Следовательно,
.Сначала докажем, что
,
где
.
Так как
,
то
,
где
- бесконечно мала при
.
Тогда найдется луч
,
на котором
,
значит,
.
На этом луче имеем
.
Так как
бесконечно мала при
,
то функция
бесконечно мала при
и поэтому
.
При
имеем:
.
Примечание: Аналогичные свойства имеют место при и при .
Следствие 3. Предел постоянной равен этой постоянной и постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями.
По аналогии с бесконечно большими последовательностями определим бесконечно большую при функцию.
Функция
,
определённая на луче
,
называется бесконечно большой при
,
если для любого сколь угодно большего
числа
,
существует
такое, что для всех
из интервала
выполняется неравенство
.
Запишем это
определение с помощью кванторов:
.
Иногда тот факт,
что
– бесконечно большая при
записывают
так:
.
Аналогично определяется бесконечно большая функция при и при
Если – бесконечно малая функция при и
,
то
– бесконечно большая при
,
и наоборот, если
– бесконечно большая функция при
,
то
– бесконечно малая функция при
полностью аналогично доказательству для последовательностей.
Примечание: Аналогичные теоремы справедливы при и при .
Функция , бесконечно малая при , а функция
- бесконечно большая при
;
функция
бесконечно большая при
,
тогда функция
- бесконечно малая при
.Вычислим пределы:
.
При
числитель и знаменатель дроби
бесконечно большие функции. Потому
теорема о пределе частного неприменима.
Но значение дроби не изменится, если
числитель и знаменатель дроби разделить
на
(старшая степень).
=
.
,
так как
,
а
.
,
так как
,
а
.
Легко доказать общее утверждение:
3.Горизонтальные и наклонные асимптоты
Пусть функция определена на бесконечном интервале .
П
рямая
называется асимптотой графика функции
при
если
– бесконечна мала при
то есть
(см. рис. 27).
Аналогично для
Прямая называетсянаклонной асимптотой, если
.
Если
,
то прямая
называется
горизонтальной асимптотой, тогда 
.
Для того, чтобы прямая являлась асимптотой графика функции при , необходимо и достаточно, чтобы существовали
и
.
1) (необходимость).
Пусть прямая
– асимптота графика функции при
.
Это значит, что
.
Рассмотрим функцию
.
Так как
,
,
а так как
,
то
.
2) (достаточность).
Рассмотрим
функцию
.
Так как
,
,
а так как
,
то
.
Пусть
,
.
Рассмотрим
,
подставляя значения
и
,
получим, что
.
Аналогично можно
показать, что если функция
определена на интервале
,
то для того, чтобы прямая
являлась асимптотой функции
и при
,
необходимо и достаточно, чтобы существовали
и
.
Найти наклонные асимптоты графика функции
.
.
График функции
имеет асимптоту
при
.
Найдем асимптоту графика функции при .
.
График функции
имеет асимптоту
при
.
Ф
ункция
определена для
или
,
так как
при
или
.
Построим схематически график функции,
состоящий из двух ветвей, вместе с
наклонными асимптотами.
Найти горизонтальную асимптоту графика функции
.
Решение:
;
значит, прямая
- горизонтальная асимптота графика
функции
.