7.4. Явление самоиндукции при замыкании и размыкании электрической цепи

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника с ЭДС , сопротивления R и соленоида с индуктивностью L, которые соединены последовательно (рис. 7.5).

При включении источника в такую цепь, начиная с момент времени t = 0, в цепи появится возрастающий электрический ток I. За счет возрастания магнитного поля в соленоиде в замкнутом контуре возникает ЭДС самоиндукции, действующая противоположно сторонней ЭДС источника. В результате рост силы тока в цепи замедляется.

В этом случае закон Ома ( при r<<R, L = const) имеет вид

,

где . Следовательно,

.

Разделяя переменные (I и t), имеем

или

.

Интегрируя, получим

,

.

При t = 0, I = 0 , тогда

,

т.е. ток постепенно возрастает от I = 0 до I = /R при t.

У становившееся значение силы тока, соответствующее закону Ома для постоянного тока, достигается лишь в смысле предела при бесконечном времени. На рис. 7.6 показана зависимость тока от времени при включении источника в цепь, состоящую из индуктивности и сопротивления. При увеличении индуктивности в цепи нарастание силы тока происходит медленнее.

Учитывая экспоненциальную зависимость силы тока от времени, можно как обычно за время нарастания силы тока в цепи принять такое значение t, при котором показатель экспоненты обращается в "минус" единицу, т.е. .

Аналогично можно показать, что при выключении постоянного источника ЭДС сила тока не падает мгновенно до нуля, а уменьшается постепенно согласно уравнению

.

Время убывания силы тока определяется той же формулой: . Электродвижущей силой, которая обеспечивает существование тока в цепи в течение этого промежутка времени, является ЭДС самоиндукции, а источником энергии - энергия магнитного поля катушки индуктивности. На рис. 7.7 показана зависимость тока от времени при выключении источника из цепи, состоящей из индуктивности и сопротивления. При увеличении индуктивности в цепи убывание силы тока происходит медленнее.

Вопросы включения и выключения ЭДС с самоиндукцией впервые рассмотрел Гельмгольц в 1855 г.

Если цепь состоит из сопротивления R и конденсатора C, то наличие конденсатора исключает возможность протекания по ней постоянного тока (рис. 7.8). В этом случае разность потенциалов между обкладками конденсатора, на которых р асполагаются соответствующие заряды, полностью компенсирует действие сторонней ЭДС источника тока. Однако переменный ток в цепи при наличии конденсатора существует, поскольку в этом случае заряд на обкладках конденсатора переменен, что и обеспечивает протекание тока в цепи. Кроме того, разность потенциалов на обкладках конденсатора не компенсирует действия сторонней ЭДС источника тока, благодаря чему и поддерживается соответствующая сила тока.

Закон Ома при наличии в цепи конденсатора и сопротивления записывается в виде уравнения

, (7.3)

где q - заряд на обкладке конденсатора;

- разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Продифференцировав уравнение (7.3) по t, получим

, (7.4)

где - ток в цепи.

Включение и выключение постоянной ЭДС в цепь с емкостью и сопротивлением приводит к следующим результатам. Пусть постоянное напряжение U_o включается в момент t = 0. Из уравнения (7.3) видно, что , а уравнение (7.4) принимает при t>0 вид

.

Решение этого уравнения при начальном условии ( ) выражается соотношением

. (7.5)

Следовательно, с течением времени сила тока в цепи убывает от максимального значения I_o до нуля. Время убывания тока определяется соотношением

.

Поэтому если емкость C достаточно велика, то ток после выключения постоянного напряжения может существовать достаточно заметное время. После того как сила тока упала до нуля, конденсатор оказывается заряженным до разности потенциалов, равной сторонней ЭДС, но противоположно направленной. Они компенсируют друг друга. При выключении сторонней ЭДС разность потенциалов на обкладках конденсатора оказывается не скомпенсированной. По цепи начинает течь ток, начальная сила которого I_o, а закон уменьшения силы тока полностью совпадает с (7.5) с тем же временем убывания.

В общем случае, когда цепь состоит из емкости C, индуктивности L, сопротивления R и источника тока с ЭДС, равной  (рис. 7.9), уравнение для тока в цепи можно записать так:

. (7.6)

После дифференцирования по t обеих частей выражения (7.6) можно записать

. (7.7)

Различные частные решения уравнения (7.7) были рассмотрены ранее.