1.2.5. Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля

Если внутри замкнутой поверхности находится система из N электрических зарядов, то поток вектора напряженности через данную поверхность

. (1.10)

Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

Данное утверждение носит название теоремы Остроградского-Гаусса.

При непрерывном распределении электрических зарядов с объёмной плотностью внутри некоторой замкнутой поверхности, теорему Остроградского-Гаусса можно записать так:

. (1.11)

Выражение (1.11) называется 1 уравнением Максвелла в интегральной форме.

Теорема Остроградского-Гаусса позволяет определить величину заряда в любой области, в которой известна величина , и упростить решение многих задач по определению напряженности электрических полей, созданных системами электрических зарядов.

1.2.6. Алгоритм применения теоремы

Остроградского – Гаусса

Теорема Остроградского-Гаусса оказывается полезной при расчётах напряжённостей электрических полей, созданных непрерывно распределёнными вдоль какой либо поверхности или внутри какого – либо объёма электрическими зарядами. Алгоритм применения теоремы Остроградского-Гаусса для решения указанных задач:

1. Предполагают геометрию электрического поля. Вводят замкнутую поверхность, отдельные части которой параллельны, а другие перпендикулярны линиям напряжённости, а одна из составляющих проходит через точку, в которой определяется напряжённость Е.

2. Записывают теорему Остроградского-Гаусса в виде

3. Производят преобразования правой и левой частей этого соотношения применительно к выбранной замкнутой поверхности и с учётом фактического распределения заряда.

4. Приравнивая полученные соотношения, находят напряжённость Е.

1.2.7. Электрическое поле бесконечно длинного,

равномерно заряженного цилиндра

Характеристикой линейного распределения заряда является линейная плотность заряда, численно равная заряду, находящемуся на единице длины, . При равномерном распределении заряда .

Д ля определения напряженности электрического поля, порождаемого бесконечно длинным, равномерно заряженным стержнем, радиус которого R, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса.

Для чего вокруг стержня проведем замкнутую (в рассматриваемом случае цилиндрическую) поверхность конечной длины, на боковой поверхности которой находится точка "А". Линии вектора перпендикулярны оси стержня и боковой поверхности цилиндра (рис. 1.6).

Поток вектора напряженности электрического поля через построенную замкнутую цилиндрическую поверхность

,

где Ф_o = 0 (поток через основания цилиндра), т.к. E_n = Ecos = 0.

Следовательно

.

Ф_б – поток через боковую поверхность цилиндра, здесь E_n = Е, т.к. cos = 1.

На основании теоремы Остроградского-Гаусса

,

тогда

= ,

а

. (1.12)

Формула (1.12) справедлива для электрического поля заряженного стержня, заряженных проводников, цилиндров, 2-х коаксиальных цилиндрических поверхностей, заряженных с одинаковой по величине линейной плотностью заряда .