4.1.4. Электрическое поле в диэлектриках.

Электрическое смещение.

Теорема Остроградского-Гаусса

для потока вектора индукции электрического поля

Электрическим смещением (индукцией электрического поля) называют векторную физическую величину, связанную с вектором поляризации и вектором напряженности электрического поля соотношением

. (4.1)

С учетом того что , уравнение (4.1) можно переписать в виде

, (5.3)

где – относительная диэлектрическая проницаемость среды.

D = Кл/м².

Если в поле, созданное в вакууме бесконечно заряженными плоскостями, внести пластину из однородного диэлектрика так, чтобы её боковые грани были параллельны плоскостям, то на поверхностях пластины "появятся" связанные заряды с поверхностной плотностью ^', которые создают свое электрическое поле, направленное в сторону, противоположную внешнему полю (рис. 4.6).

Внутри диэлектрика в этом случае существует результирующее электрическое поле с напряженностью

,

где – напряженность внешнего электрического поля;

– напряженность электрического поля связанных зарядов.

Тогда .

Вне диэлектрика напряженность внешнего поля равна напряженности результирующего электрического поля.

. Относительная диэлектрическая проницаемость среды показывает, во сколько раз электрическое поле ослабевает за счет диэлектрика.

Индукция электрического поля внутри диэлектрика и вне диэлектрика одинакова, т.к. при умножении на ₀ имеем

, или ,

где D = ₀E – индукция (электрическое смещение) электрического поля внутри диэлектрика;

D_o = ₀E – индукция (электрическое смещение) электрического поля вне диэлектрика.

Таким образом, индукция электрического поля в диэлектрике изменяет свое направление, но не изменяет свою величину, в то время как напряженность электрического поля . Полученный результат справедлив для любых электрических полей.

Следовательно, на границе раздела двух сред происходит изменение вектора напряженности электрического поля (уменьшается число силовых линий вектора ), а вектор индукции электрического поля не изменяется (изменяется лишь вид силовых линий вектора ). Отсюда вывод: поток вектора индукции электрического поля через любую замкнутую поверхность остается величиной постоянной. Линии вектора могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах - свободных и связанных, в то время как линии вектора только на свободных зарядах.

Для потока вектора индукции электрического поля справедлива теорема Остроградского-Гаусса: поток вектора индукции электрического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных электрических зарядов, заключенных внутри этой замкнутой поверхности.

Математически эту теорему можно записать так

.

4.1.5. Условия на границе раздела двух диэлектриков

Р ассмотрим связь между векторами E и D на границе раздела двух диэлектриков, предположив, что они изотропные и однородные (диэлектрические проницаемости которых ₁ и ₂) при отсутствии на границе раздела свободных зарядов.

На границе раздела диэлектриков с относительными диэлектрическими проницаемостями ₁ и ₂ построим небольшой замкнутый прямоугольный контур длиной l = 2a + 2b, ориентировав его так, как показано на рис. 4.7.

Согласно теореме о циркуляции вектора напряженности электрического поля , имеем

,

где знаки интегралов по a - разные, так как пути интегрирования противоположны, а интегралы по участкам b - ничтожно малы.

Поэтому

.

З аменив проекции вектора E проекциями вектора D, деленным на _o, получим

.

Построим прямой цилиндр малой высоты на границе раздела двух диэлектриков. Одно основание цилиндра пусть находится в первом диэлектрике, другое - во втором (рис.4.8). Основания S настолько малы, что в пределах каждого из них вектор D одинаков. Согласно теореме Остроградского-Гаусса, так как нормали n₁ и n₂ к основаниям цилиндра направлены противоположно, будем иметь

.

Это означает, что

. (4.2)

Заменив проекции вектора D на проекции вектора E, умноженные на _o, получим

. (4.3)

Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектриков тангенциальная составляющая вектора E (E_t) и нормальная составляющая вектора D (D_n) не претерпевают скачка, а нормальная составляющая вектора E (E_n) и тангенциальная составляющая вектора D (D_t) претерпевают скачок.

Из условий (4.2, 4.3) для составляющих векторов E и D вытекает, что линии этих векторов испытывают преломление на границе раздела двух диэлектриков.

Установим связь между углами ₁ и ₂ при условии ₂>₁. Разложим векторы E₁ и E₂ у границы раздела на тангенциальные и нормальные составляющие. Согласно тому, что и ,

следует

.

Учитывая записанные выше условия, получим закон преломления линий напряженности E (а значит, и линий индукции электрического поля D):

. (4.4)

Соотношение (4.4) показывает, что, входя в диэлектрик с большей диэлектрической проницаемостью, линии векторов E и D удаляются от нормали и ведут себя по разному, что ранее постулировалось