3.7. Применение закона полного тока для расчета магнитных полей

3.7.1. Напряженность поля бесконечно длинного соленоида

Соленоидом называют катушку цилиндрической формы из провода, витки которой намотаны в одном направлении и прилегают плотно друг к другу.

Магнитное поле соленоида представляет собой результат сложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую ось (рис. 3.15).

Внутри соленоида силовые линии каждого отдельного витка имеют одинаковое направление. Поэтому принято считать поле бесконечно длинного соленоида (такого, у которого диаметр гораздо меньше длины – d<<L) однородным, существующим только внутри его.

Р ассчитаем напряженность магнитного поля внутри соленоида, длина которого L, радиус витка R, число витков N, сила тока I. Будем считать, что в любой точке соленоида вектор направлен параллельно оси.

Для расчета напряженности воспользуемся законом полного тока в виде

. (3.37)

В ыберем замкнутый контур прямоугольной формы (рис. 3.16), участок 1-2 которого расположен внутри соленоида вдоль его оси.

Левую часть выражения (3.37) можно представить в виде

,

где , так как перпендикулярен участку 2-3;

, так как перпендикулярен участку 4-1;

, так как участок 3-4 находится вне соленоида.

Следовательно,

.

Правая часть выражения (3.37) может быть представлена так:

,

где n - число витков на единице длины соленоида;

- длина участка;

I - величина тока в соленоиде.

Таким образом, имеем

.

Откуда

. (3.38)

Из полученного результата действительно видно, что напряженность магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида имеет одно и тоже значение, а следовательно, оно действительно однородно.

Таким образом, действительно внутри бесконечно длинного соленоида напряженность магнитного поля практически везде одинакова. Она направлена вдоль оси соленоида в соответствии с правилом правого винта.

2. Напряженность магнитного поля тороида

Тороид – это соленоид, свитый в кольцо. Его магнитное поле однородно, сосредоточено внутри самого тороида. Вне тороида поле отсутствует. Линии вектора представляют собой концентрические окружности, центры которых совпадают с центром тороида. Краевой эффект у тороида отсутствует (рис. 3.17).

В ыбирая одну из линий вектора за контур обхода, радиус которого r (r₁, r₂), и применяя закон полного тока, будем иметь

;

,

где R - радиус тороида (радиус линии вектора , расположенной в средней части тороида).

Имеем

.

Откуда

. (3.39)

Так как в нашем случае R = r, то

. (3.40)

Внутри тороида напряженность магнитного поля имеет различные направления, поэтому говорить о его однородности можно только условно, т.е.

.

3.7.3. Напряженность магнитного поля внутри

толстых проводников с током

Пусть ток с постоянной плотностью протекает по проводнику радиуса (рис. 3.18). Вне проводника, согласно теореме о циркуляции вектора напряженности магнитного поля ,

,

где - контур, представляющий собой окружность радиуса , центр которой лежит на оси цилиндрического проводника.

И меем или .

Величина тока

,

где - плотность тока.

Тогда

,

Анализ полученного соотношения показывает:

1.) Если расстояние от оси проводника меньше его радиуса (r < R₀), то

.

Напряженность магнитного поля линейно возрастает.

2.) Если расстояние от оси проводника равно его радиусу, то

.

Н апряженность магнитного поля достигает максимального значения.

3. Если расстояние от оси проводника больше его радиуса (r > R₀), то

.

Напряженность магнитного поля убывает и при R равна нулю.

Графически изменение напряженности магнитного поля проводника от расстояния до его оси можно представить так, как показано на рис. 3.19.