3.6. Циркуляция индукции магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля. Теорема о циркуляции индукции магнитного поля (закон полного тока для магнитного поля)

Циркуляцией вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру L (или просто циркуляцией вектора напряженности магнитного поля) называют интеграл

.

Из закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции магнитных полей как экспериментальных факторов вытекает важное следствие, которое облегчает расчеты магнитных полей. Для установления этого следствия проведем в магнитном поле некоторую замкнутую линию L (контур произвольной формы и произвольных размеров) (рис. 3.11).

Разобьем ее на элементарные участки . Для каждого из участков составим произведение ,где - угол между направлением и касательной к контуру. Проинтегрировав, получим

.

С учетом того, что напряженность магнитного поля от бесконечно длинного проводника с током , а , имеем

.

Таким образом,

.

При изменении направления тока в проводнике в каждой точке поля вектор изменит свое направление на обратное. Косинусы углов будут иметь противоположный знак, и интеграл будет отрицательным. Знак интеграла изменится также и при перемене направления обхода контура L, вследствие чего изменятся направления касательных. Ввиду этого направление обхода и направление тока должны быть связаны между собой правилом "правого винта».

Е сли внутри замкнутого контура находятся n токов, то

(3.35)

Если ток протекает вне контура (рис. 3.12), то в этом случае можно записать

С оотношение справедливо и в том случае, когда контур и проводник имеют произвольную форму. Если ток направлен «на нас», то вектор направлен «против часовой стрелки» (рис.3.13). В этом случае и . В результате получим

.

Е сли же контур охватывает проводников с токами, направленными в разные стороны, то, учитывая, что от положения проводника внутри контура не зависит циркуляция , можем мысленно собрать все проводники в «жгут», толщина которого в силу конечности мала. По «жгуту» протекает ток, равный алгебраической сумме токов отдельных проводников (рис. 3.14).

Утверждение (3.35), что циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, называется теоремой о циркуляции магнитного поля или законом полного тока в интегральной форме. Таким образом, из закона полного тока вытекают следующие следствия:

а) если направление обхода контура и направление тока в проводнике не связаны между собой правилом правого винта, то значение

,

сохранив величину, изменит знак;

б) если контур, расположенный в магнитном поле, не охватывает ток или алгебраическая сумма токов внутри замкнутого контура равна нулю, то

.

Зная связь между вектором напряженности и вектором индукции магнитного поля, можно записать закон полного тока в интегральной форме для циркуляции вектора индукции:

. (3.36)

Так как , , то магнитному полю нельзя приписать какой-либо потенциал, а это означает, что магнитное поле является вихревым, а не потенциальным.

Закон полного тока в виде (3.35) и (3.36) справедлив только для поля в вакууме, поскольку для поля в веществе надо учитывать молекулярные токи.