34. Операції над многочленами.

Многочленом n-го степеня назив. функція f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n де а_і коефіцієнти, які є С(а_і є КЧ) і= , х є С

Операції над многочленами

f(x)= a₀xⁿ+…+a_n

g(x)=b₀x^m+…+b_m n m

Сумою двох многочленів назив. многочлен f(x)+g(x)=c₀xⁿ+…+c_n де c_i є сумою коефіцієнтів при Х^n-і многочленів f(x) і g(x).

Добутком многочл f(x) і g(x) назив многочл f(x)g(x) коефіцієнти с_і якого є рез-том перемнож таких коеф многочл, що сума відповід степенів змінної = n-і та додав таких добутків.

Операції дода і множ комутативні, асоц і має місце дистрибутивність. (f(x)+g(x))q(x)=f(x)q(x)+g(x)q(x)

Протилежний многочлен до многочл f(x) – це многочл –f(x)=-a₀xⁿ-…-a_n

Оберненений многочлен визнач лише для многочленів 0-го степеня

f^-1(x):=f(x)f^-1(x)=1

Введемо операцію ділення многочленів з остачею.

Теор. Для будь-яких многоч f(x) і g(x)  q(x), r(x) такі що f(x)=g(x)q(x)+r(x) причому степінь r(x) < степінь g(x), або r(x)=0

Доведення методом ділення куточком.

О.Мног (x) назив. дільником мног f(x) якщо  (x) такий,щоf(x)=(x)(x)

Властивості подільності многочленів

1) f(x) (x) та (x) r(x)f(x) r(x)

2) f(x) (x) і g(x) (x)(f(x) g(x)) (x)

3) f(x) (x)f(x)g(x) ) (x)

4) будь-який мног f(x) _{ділиться} на будь-який ненул мног нульового степеня

5) Мног f(x) і g(x) діляться один на одний тоді і тільки тоді, коли f(x)=c*g(x) cєC, c0

НСД многочленів f(x) і g(x) назив. такий мног d(x) який є дільником кожного з них та сам ділиться на будь-який інший спіл діл цих многочленів НСД(f(x),g(x))=d(x)

Для знаходж НСД використ. Алгоритм Евкліда

1. f(x)=g(x)q₁(x)+r₁(x)

2. g(x)=r₁(x)q₂(x)+r₂(x)

3. r₁(x)=r₂(x)q₃(x)+r₃(x)

……………………………..

(4)r_k-2(x)=r_k-1(x)q_k(x)+r_k(x)

(5)r_k-1(x)=r_k(x)q_k+1(x)

d(x)=НСД(f(x),g(x))=r_k(x)

Доведення

(5)r_k-1 r_k

(4)r_k-2 r_k

………………….

(3)r₁ r_k

(2)g r_k

(1)f r_k

Звідси r_k спільний дільник f і g

Нехай (x) спільний дільник f і g. Доведемо, що r_k(x) (x)

(1)f ,g r₁ 

…………………….

(4)r_k-2 ,r_k-1 r_k 

Наслідок. Якщо f і g мають дійсні коефіц,то їх НСД теж буде мати дійсні коефіцієнти

Зауваження. НСД визначається з точністю до комп числа О.Многочлени f і g назив взаємнопростими, якщо їх НСД = 1

Теорема. Якщо d(x)=НСД(f(x),g(x)), то  u(x),v(x), що виконується f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x), причому степінь u(x) < степені g(x), а степінь v(x) < степені f(x). Доведення спирається на алгоритм Евкліда(знизу вверх)

Наслідок: Якщо f(x) i g(x) взаємнопрості, то існують єдині u(x) ta v(x) такі, що f(x)u(x)+g(x)v(x)=1

35. Корені многочленів. Теорема Безу. Метод Горнера

Нулем, або коренем многочлена f(x) назив. Число xєС таке,що f(c)=0

Теорема Безу

При діленні многочлена f(x) на двочлен (x-c) одержується остача f(c)

Доведення

f(x)=(x-c)q(x)+r, r многочлен 0-го степеня

покладемо x=c

f(c)=r

Наслідок. Якщо c є коренем f(x), то f(x) ділиться на (x-c), тобто

(1)f(x)=(x-c)q(x)

Для ділення f(x) на (x-c) зручно використ. Схему Горнера

Нехай f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n

q(x)=b₀x^n-1+b₁x^n-2+…+b_n-1

Підставимо f(x) і g(x) в (1) та прирівняємо коефіцієнти при однакових коренях x

xⁿ a₀=b₀b₀=a₀

x^n-1 a₁=b₁-cb₀b₁=cb₀+a₁

x^n-2

…

x₀ b₀=a₀ b_k=cb_k-1+a_k k=1,n-1

r=cb_n-1+a_n(якщо є остача)

Корінь c многочлена f(x) назив коренем кратності k, якщо f(x) (x-c)^k, але не ділиться на (x-c)^k+1

f(x)=(x-c)^kq(x)

Теорема. Якщо число с є коренем кратності k многочлена f(x) то при k>1 воно буде (k-1)кратним коpенем похідної f^’(x)

Якщо к=1, то с-простий корінь f(x).