
- •3. Визначники 2–го порядку та їх властивості.
- •Доведення:
- •6Означення визначника n-го порядку
- •7Властивості визначників n-го порядку
- •8Поняття вектора.Лінійні дії над векторами.
- •9. Лінійно незалежні системи векторів. Базис,
- •11 Декартова система координат
- •12Скалярний добуток векторів
- •13Векторний добуток векторів
- •14. Мішаний добуток трьох векторів.
- •15. Векторне і нормальне рівняння площини
- •17. Кут між двома площинами.
- •21. Взаємне розташув 2 площ. Кут між прямою і площиною
- •22. Канонічне рівняння еліпса, його геометричні властивості.
- •27 Множення матриць
- •28 Елементарні перетворення матриць
- •29. Обернена матриця.
- •30. Блоковіматриці.
- •31.Розв’язуванняматричнихрівнянь.
- •32. Компл числа. Тригонометрична форма комплексного числа
- •33. Дії над компл. Числами. Ф-ла Муавра
- •34. Операції над многочленами.
- •35. Корені многочленів. Теорема Безу. Метод Горнера
- •36 Основна теорема алгебри
- •37. Раціональні дроби
- •38.Аксіоматичне визначення векторного простору
- •39. Вимірн і базис вект пр. Перет коорд при пер до нового базису.
- •40.Підпростори векторного простору
- •41.Афінний простір...
- •42.Ранг матриці.
- •43. Підпрос, утворений розв’язками однорідної с л р. Фундаментальна ср.
- •44 Неоднорідні сис-и лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі
- •45.Лп та їх матриці. Дії над лп. Обернене лп.
- •46.Матриці лп. Подібні матриці.
- •47.Характеристичний многочл, власні числа і власні вектори лп
- •48. Означ евклід прост. Ортог вектори. Ортогоналізація Гр-Шмі.
- •49.Ортонормовані базиси і ортогональні матриці.
- •50.Ортогональні перетворення.
- •51 Означення квадратичних форм(кф). Основні ознаки додатної визначеності.
- •52 Зведення кф до канонічного вигляду
- •53) Поняття множини. Рівність множин.
- •54) Операції над множинами.
- •55) Означення функції. Види відображень.
- •56. Складена, обернена функція.
- •57. Параметричне та неявне відображення.
- •58. Аксіоми множин дійсних чисел
- •59. Розширення множини дійсних чисел
- •60. Основні характеристики дійсного числа.
- •61. Обмежені та необмежені числові множини.
- •62. Верхня та нижня межа множини.
- •63 Принцип Архімеда.
- •64. Принцип вкладених відрізків
- •65) Еквівалентність множин та поняття потужності
- •66) Зчисленна потужність
- •67) Континуальна потужність
15. Векторне і нормальне рівняння площини
Обираємо в сист. координат т.Р; радіус-вектор ОР=р; складемо р-ня площини, що проходить через т.Р ┴OP. Рє(π), р┴(π). Візьмемо т.М, Мє(π)-поточна точка. r=OM – радіус-вектор т.М. РМ=r-р; РМ┴р; ↔РМ*р=0; (r-p)p=0(1)- векторне р-ня площини. Перейдемо в р-ні(1) до координатної форми р=│р│*ер; │р│=р>0; ер=n – орт нормалі до площини. n=(cosα;cosβ;cosγ); M(x;y;z); r=(x;y;z); p_=pn_
p(cosα;cosβ;cosγ)*(x- cosα; y-cosβ; z-cosγ)=0;
xcosα+ycosβ+zcosγ-pcos2α-pcos2β-pcos2γ=0;
xcosα+ycosβ+zcosγ-p*1=0;
p= xcosα+ycosβ+zcosγ (2) – нормальне р-ня площини, де n=(cosα;cosβ;cosγ)-орт нормалі до площини, р- відстань площини від початку координат.
16. Загальне рівняння площини.
Загальним р-ням площини в R3 назив. лінійне р-ня вигляду:
(3) Ax+By+Cz+D=0, де A,B,C,DєR, A2+B2+C2≠0. Покажемо, що р-ня (3) можна звести до p= xcosα+ycosβ+zcosγ(2) і навп. Домножимо (2)на р:
(2) ↔ xрcosα+yрcosβ+zрcosγ-p2=0. Познач A=рcosα, B=рcosβ, C=рcosγ, D=-p2 Отже отримуємо р-ня(3), де N=(A;B;C)-вектор нормалі до площ π.
Для того, щоб (3)звести до(2),домнож (3) на нормувальний множник μ
μAx+ μBy+ μCz+μD=0 μ визнач з умов:μA=cosα,μB=cosβ,μC=cosγ, Dμ<0.
звідки
μ2(А2+В2+С2)=1;→
μ=±1/
(знак
вибир протилеж знаку D)
Отже, маємо р-ня площ у вигл:
,
яке і є р-ням(2).
В исновок: будь-яке лін р-ня вигляду (3) можна звести до р-ня (2), яке є норм р-ням площ, і навпаки, якщо в пр R3 задана довіл площ і фіксов довільна декартова сист. коорд Охуz, то площ визначається в цій с-мі лінійним р-ням.Відстань та відхилення від площини.
z
M
P
M0
p
y
opt n
x
Нехай задана площина(π) і т., що не лежить на цій площині.
(π): xcosα+ycosβ+zcosγ-p=0; М0(x0;y0;z0) не є(π). Спроектуємо ОМ0 на вісь, задану n(OP).
OM= пр nОМ0=OM0n;
Відхиленням т. М0 від (π) назив. різниця проекцій:
δ= пр nОМ0; - пр nOP;
Отже, маємо:δ= xcosα+ycosβ+zcosγ-p або
δ=0 - М0є(π); δ>0 – М0 і О по різні боки від (π); δ <0 – по один бік.
Відстань точки від площини:
d=│
δ │=│ xcosα+ycosβ+zcosγ-p│=│
│
Чачтинні випадки загального р-ня:
1) D=0 – площина прох. через початок координат( через т.(0;0;0))
2)А=0, В,С≠0, Ву+Сz+D=0 –площ. паралельна Ох.
3)А=В=0, Сz+D=0 – площ. паралельна Оху і т.д.
17. Кут між двома площинами.
Нехай дано дві площини, які визначаються загальними рівняннями:
A1x+B1y+C1z+D1=0 , A2x+B2y+C2z+D2=0
Розглянемо вектори нормалей до кожної з площин:
N1=
,
N=
.
(1)Кут φ між площинами визначаеться кутом φ між векторами N1 i N2 . Отже, справджується рівність:
Cosφ=(A1A2+B1B2+C1C2)
/ (
*
)=N1N2/|N1||N2|
(2)Умова перпендикулярності площин така:
A1A2+B1B2+C1C2=0
(3)Умова паралельності площин:
A1/A2=B1/B2=C1/C2
(4)Дві площини збігаються, якщо виконується рівність:
A1/A2=B1/B2=С1/С2=D1/D2
У разі виконання умови (4) рівняння однієї площини можна дістати з рівняння іншої площини множенням на сталий множник.
Нехай дано три площини:
Akx+Bky+Ckz+Dk=0 (k=1,2,3)
Вони перетинаються в одній точці у тому і тільки у тому разі, коли:
не=0
Якщо визначник дорівнює нулю, то площини можуть мати спільну пряму, коли система рівнянь має нескінченну множину розв’язків, або не мати жодної спільної точки, коли система не має розв’язків.
18. Пряма на площині.Кут між прямими
А)
Векторне рівняння прямої на площині
-
напрямний вектор прямої
L;
t-параметр
М0
L
, M
L
,
||L
, OM0=
,
=
,
||
,
=t*
,
=
-
,
t
,
=
+
t*
(1),
-векторне
р-ня прямої що прох через т. радіус-вектор
якої
,паралельно
вектору
.
Параметричне рівняння прямої
М0(х0,у0), =(m,n), M(x,y), r(x,y). P (1):
t
є R(2)
Канонічне рівняння прямої
З (2): t=(x-x0)/m; t=(y-y0)/n
(x-x0)/m=(y-y0)/n (3) канон р-ня прямої, що прох через т з коорд(х0, уо), паралельно напрямному відрізку l з коорд(m,n)
m2+n2
0
якщо m=0
(x-x0)*n=0 =>x=x0 – пряма, парал осі Оу
Рівняння прямої що проходить через 2 задані точки
P
P1
P2
P
1(х1,у)P 2(х2,у2)
P
(х,у)
(х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1)(4)
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Візьмемо (3) і розв’яжемо відносно у. y=(n/m)x+(y0-(n/m)x0)→
y=kx+b(5)
З
L
агальне рівняння прямоїС кладемо р-ня прямої, що прох через т.Р0(x0,y0)
перпендик
до вектора
(A,B).
Р-поточ точка
L
;
Р0єL
; Р(x,y)
,
*
=0
A
l
(x-x0)+B(y-y0)=0A
n
x+By-Ax0-By0=0(
φ
-Ax0-By0)=CA
m
x+By+C=0(5)Кути!
Розглянемо дві прямі, які задано рівняннями з кутовими коеф:
y = k1x + b1 , y = k1x + b1 (1).
якщо
прямі паралел, то вони мають однак кути
нахилу;дві прямі збіг, якщо: k1
= k2
, b1
= b2
;
якщо прямі взаємно перпендик, то:
1=
2+
/2
i
k2=tg 2=tg( 1+ /2)=-ctg 1=-1/tg 1=-1/k1 рівність: k2=-1/k1 є умовою перпендикул двох прямих.
якщо прямі не парал, то вони перетин в точці , коорд якої є розв’язком системи рівнянь:
y=k1x+b,
y=k2x+b2
нехай - кут між цими прямими : (рис.1)
згідно
з рис.1 маємо:
2
=
2
+
(зовнішній кут трикутника дорівнює сумі
двох внутрішніх кутів,не суміжних з
ним). Отже,
tg =tg( 2- 1)=(tg 2 – tg 1)/(1+tg 2*tg 2)=(k2-k1)/(1+k2k1)
формулу:
tg =(k2-k1)/(1+k2k1) застосов для знаходж кута між 2 прямими, заданими рівняннями виду (1).
19. ПРЯМА В ПРОСТОРІ
1.) Векторне р-ня
r=r0+tl, де r-радіус-вектор змінної точки P, r0-радіус вектор заданої точки М0, l- ненульовий напрямний вектор t-параметр. tЄR
2.)Параметричні р-ня
l =(m,n,p) r0=(x0,y0,z0)
x
=x0+tm
y=y0+tn параметричне рівняння
z=z0+tp
3) (x-x0) = (y-y0) = (z-z0) канонічне рівняння
m n p
4) Рівняння прямої через дві задані точки
P1(x1,y1,z1) P2(x2, y2, z2)
(x-x1) = (y-y1) = (z-z1)
x2-x1 y2-y1 z2-z1
5) Загальне рівняння прямої
Пряма задається за допомогою перетину двох площин
A1x+B1y+C1z+D1=0
де
A2x+B2y+C2z+D2=0
Зауваження: Для зведення з загального рівняння прямої до канонічного:
1.Знайдемо т.Р0, що належить L. Наприклад, z=0, шукаємо х,у з с-ми якщо визначник А1 В1 не=0. Якщо ж =0, шукаємо інший варіант.
А2 В2
2.Напрямний l || N1xN2, де N1, N2– нормалі. N1(A1,B1,C1) N2(A2,B2,C2)
20. Кут між пр в прост. Умови належн двох прямих одній площині
Кут між пр. в простор визнач як кут між їх напрямними векторами
Нехай прямі л1 та л2 задано рівняннями:
(x-x1) = (y-y1) = (z-z1) (x-x2) = (y-y2) = (z-z2)
m1 n1 p1 m2 n2 p2
Кут між цими прямими дорівнює куту β між її напрямними векторами l1=(m1,n1,p1) l2=(m2,n2,p2) тому дістанемо.
Умова || прямих: L1 || L2 ↔ m1/m2=n1/n2=p1/p2
Умова ┴ прямих: L1┴L2 ↔ m1m2+n1n2+p1p2=0
Кут між цими прямими дорівнює куту β між її напрямними векторами l1=(m1,n1,p1) l2=(m2,n2,p2) тому дістанемо:
Соs β =l1*l2 = m1*m2 +n1*n2+p1*p2 ________
|l1|*|l2| √ (m1*m1+n1*n1+p1*p1) * √((m2*m2+n2*n2+p2*p2)
З'ясуємо коли 2 прямі лежать точно в 1 площ:
Якщо
l1,
l2,
P1P2
лежать
в 1 площ, то 2 прямі-в 1 площ.
З
цього виплив, що їх мішаний добуток=0
P1P2: х2-х1 у2-у1 z2-z1
l1 : m1 n1 p1 =0
l2 : m2 n2 p2