Доведення:

x1*(a11*a22-a12*a21)=b1*a22-a12*b2

1

звідси: x1==( 1/ )

2)

= a11 a12 a13 b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b1

a21 a22 a23 1= b2 a22 a23 2= a21 b2 a23 3= a21 a22 b2

a31 a32 a33 b3 a32 a33 a31 b2 a33 a31 a32 b3

Теорема: СЛР3 має єдиний розв’язок, якщо 0. Цей розв’язок визначається за формулою Крамера xj=( j/ ) , j=

Якщо = j =0, j= ,то система має безліч розв’язків, або система = 0

Якщо =0, j 0 , j= ,то система несумісна

6Означення визначника n-го порядку

Озн: Визначником n-го порядку ,що відповідає квадратній матриці А n-го порядку , називається алгебраїчна сумма n! доданків, які є всіма можливими добутками елементів, узятих по одному і тільки по одному з кожного рядка і кожного стовбця, причому доданок береться із знаком , де - кількість інверсій у перестановці(к-сть пар чисел(не обов сусід), серед яких більше передує меншому) других індексів елементів доданка , коли ці елементи розміщені в порядку зростання перших індексів.

* ,де підсумування здійснюється за всіма переставленнями чисел 1,2,…,n

7Властивості визначників n-го порядку

1. Значення визначника не зміниться при його транспортуванні – при заміні рядків відповідними стовбчиками і навпаки.

ДОВЕДЕННЯ Розглянемо відповідні доданки визначників detA і detA

і

Виписані доданки складаються з однакових множників

Нехай > , тобто є інверсія тоді переставимо місцями та у 2-му добутку, тому виникне інверсія і у другому добутку,і т.д.

Висновок: к-сть інверсій у перш добутку дорівнює кількості інверсій у

2-му, доданки мають однакові знаки , отже Визначники рівні.

2. При переставл 2 сусід рядків(ст) змін парність перест, тобто маємо інверсію.ДОВЕДЕННЯ:Нехай треба поміняти місцями і-й і к-й рядок, причому між ними – м рядочків. Якщо перест к-й рядок на місце і-го, то матимемо (м+1) переставлень; якщо преставимо і-й на к-й , то маємо м переставлень. Всього (2м+1) переставлень. Тому кількість інверсій змінюється на непарне число (2м+1), та це призводить до зміни знаку у кожному доданку. Висновок:при переставл рядків, визн змінює знак.

3. Спіл множ всіх ел деякого рядка(стовбця)можна винести за знак визначника.ДОВЕДЕННЯ:Випливає з того , що кожний доданок алгебраїчної сумми містить 1 , і тільки 1, елемент кожного рядка.

4. Якщо у визн всі ел деякого рядка є сумами двох доданків, то цей визн дорівнює суммі двох визн, що відрізн від задан вибраним рядком

ДОВЕДЕННЯ:Якщо елементи і-го рядка є сумами 2-х доданків, то будь-який додатковий визначник представляється у вигляді * *...* *...* = * *...*( )*...* = * *...* *...* +

+ * *...* *...*

Де і-ті доданки є членами розкладу визначника ’ ,а другі- доданка “

5. Визначник =0 , при виконанні 1-ї з наступних умов.

1. Всі елементи деякого рядка(стовбця)=0

2. Всі ел деякого рядка(ст) – пропорц відповід ел інш рядка(ст).

3. Якщо є 2 однакових рядки(стовбці)

Доведення1)Очевидний2)всилу 3-го пункту3)нехай у визначнику D є 2 однакові рядки,переставимо місцями ці рядки D=(- D) D=0

6. Визн не змінює свого знач, якщо до ел деякого рядка(стовбця) додати відповідні ел інш рядка(ст), домноженого на деяке число.

ДОВЕДЕННЯ:Це наслідок властивостей 3,4,5.

7. Формула Лапласа для визначників n-го порядку:

розклад за j–м стовбцем

розклад за і –м рядком

ДОВЕДЕННЯ:Згруп всі дод визн D , які містять елемент і познач це як сумму =

( Отже множ на «–»не вносить інверсію,тобто не вплив на знак рез-ту. Підсумування ( ) вик по всіх переставленнях чисел 2,3,...,n . Тобто маємо (n-1)! доданків.

З’ясуємо чому = сумма доданків у розкладі D, що містить множник . Побуд матрицю з матриці А переставленням і-го рядка на 1-ше місце всьго буде переставл (і-1)+(j-1)=i+j-2 Тоді за властивістю 2 матимемо

загал к-сть доданків в правій частині (n-1)!*n=n!

Одержаний вираз містить n! доданків. Всі доданки-різні і мають ті ж знаки, що і у розкладі detA але у розкладі detA є всього n! доданків, отже detA= ,

8) ,j k ; j,k= ,i k ; i,k=

ДОВЕДЕННЯ:Поміняємо ел і-го рядка зліва і зправа в ф-лі Лапласа на елементи 1-го рядка. Тоді визначник = 0 =

Узагальнимо властивості 7,8:

-символ Кронекера

=